Введение

Процесс преобразования классической физической теории в теорию, совместимую с квантовой механикой.

В физике каноническая квантизация — это процедура квантования классической теории, направленная на максимальное сохранение формальной структуры классической теории, такой как симметрии. Исторически, это не был путь, которым Вернер Гейзенберг пришел к квантовой механике, однако Пол Дирак представил её в своей докторской диссертации 1926 года под названием «метод классической аналогии» для квантования и подробно описал в своем классическом труде «Принципы квантовой механики». Термин «каноническая» происходит от гамильтонова подхода к классической механике, в котором динамика системы определяется с помощью канонических скобок Пуассона – структуры, которая лишь частично сохраняется при канонической квантизации. Этот метод был впоследствии использован Полом Дираком в контексте квантовой теории поля при построении квантовой электродинамики. В контексте теории поля это также называют вторым квантованием полей, в отличие от полуклассического первого квантования отдельных частиц.

История

Когда квантовая физика была впервые разработана, она рассматривала только квантование движения частиц, оставляя электромагнитное поле классическим, что и отразилось в названии «квантовая механика». Позже электромагнитное поле также было квантовано, а сами частицы стали описываться как квантованные поля, что привело к развитию квантовой электродинамики (КЭД) и квантовой теории поля в целом. Таким образом, по соглашению, исходную форму квантовой механики частиц называют первой квантизацией, а квантовая теория поля формулируется в рамках второй квантизации.

Вторая квантование: теория поля

Квантовая механика успешно описывала нерелятивистские системы с фиксированным числом частиц, но для описания систем, в которых частицы могут создаваться или уничтожаться – например, электромагнитное поле, рассматриваемое как совокупность фотонов – потребовалась новая структура. В конечном итоге стало ясно, что специальная теория относительности несовместима с квантовой механикой одной частицы, поэтому все частицы теперь описываются релятивистски с помощью квантовых полей. При применении канонической процедуры квантования к полю, такому как электромагнитное, классические переменные поля становятся квантовыми операторами. Таким образом, нормальные моды, составляющие амплитуду поля, представляют собой простые осцилляторы, каждый из которых квантуется в стандартной первой квантизации, описанной выше, без неоднозначности. Получающиеся кванты идентифицируются с отдельными частицами или возбуждениями. Например, кванты электромагнитного поля отождествляются с фотонами. В отличие от первой квантизации, обычная вторая квантизация полностью однозначна, по сути являясь функтором, поскольку набор составляющих её осцилляторов квантуется однозначно. Исторически, квантование классической теории одной частицы привело к появлению волновой функции. Классические уравнения движения поля обычно имеют ту же форму, что и (квантовые) уравнения для волновой функции одного из его квантов. Например, уравнение Клейна — Гордона является классическим уравнением движения для свободного скалярного поля, но также и квантовым уравнением для волновой функции скалярной частицы. Это означало, что квантование поля оказалось похоже на квантование теории, которая уже была квантована, что привело к причудливому термину «вторая квантизация» в ранней литературе, который до сих пор используется для описания квантования поля, хотя современная интерпретация, как подробно описано, отличается. Одним из недостатков канонической квантизации для релятивистского поля является то, что, опираясь на гамильтониан для определения временной зависимости, релятивистская инвариантность перестаёт быть очевидной. Поэтому необходимо проверять, не теряется ли релятивистская инвариантность. В качестве альтернативы, для квантования релятивистских полей доступен интегральный подход Фейнмана, который явно инвариантен. Для нерелятивистских теорий поля, таких как те, что используются в физике конденсированного состояния, инвариантность Лоренца не представляет собой проблемы.

Операторы на местах

В квантовой механике переменные поля (например, амплитуда поля в заданной точке) представляются операторами в гильбертовом пространстве. В общем случае, все наблюдаемые конструируются как операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция операторов во времени определяется гамильтонианом, который должен быть положительно определенным оператором. Состояние, аннулируемое гамильтонианом, должно быть отождествлено с вакуумным состоянием, которое является основой для построения всех остальных состояний. В не взаимодействующей (свободной) теории поля вакуум обычно отождествляется с состоянием, содержащим ноль частиц. В теории с взаимодействующими частицами, определение вакуума более тонкое, из-за поляризации вакуума, что подразумевает, что физический вакуум в квантовой теории поля никогда не бывает абсолютно пустым. Для более подробного рассмотрения обратитесь к статьям о квантово-механическом вакууме и вакууме квантовой хромодинамики. Детали канонического квантования зависят от квантуемого поля и от того, является ли оно свободным или взаимодействующим.

Конденсаты

Конструкция скалярного поля, описанная выше, исходила из предположения, что потенциал минимизируется при φ = 0, таким образом, вакуум, минимизирующий гамильтониан, удовлетворяет условию ⟨φ⟩ = 0, что указывает на нулевое вакуумное ожидаемое значение (VEV) поля. В случаях спонтанного нарушения симметрии возможно ненулевое VEV, поскольку потенциал минимизируется при значении φ = v. Это происходит, например, если g > 0 и m² > 0, при которых минимальная энергия достигается при φ = v. Значение v в одном из этих вакуумов можно рассматривать как конденсат поля φ. Затем можно провести каноническое квантование для сдвинутого поля φ(x,t) − v, а состояния частиц относительно сдвинутого вакуума определяются квантованием сдвинутого поля. Эта конструкция используется в механизме Хиггса в стандартной модели физики элементарных частиц.

Квантовая деформация

Классическая теория описывается с помощью пространственно-подобного расслоения пространства-времени, причем состояние на каждом слое описывается элементом симплектического многообразия, а эволюция во времени задается симплектоморфизмом, генерируемым гамильтоновой функцией над симплектическим многообразием. Квантовая алгебра "операторов" является ħ-деформацией алгебры гладких функций на симплектическом пространстве, такой что ведущий член в разложении в ряд Тейлора по ħ коммутатора [A, B], выраженного в фазовом пространстве, равен iħ{A, B} (Здесь фигурные скобки обозначают скобку Пуассона. Последующие члены полностью закодированы в скобке Мояля, являющейся подходящей квантовой деформацией скобки Пуассона). В общем случае, для рассматриваемых величин (наблюдаемых) и при указании аргументов этих скобок, ħ-деформации не являются однозначными – квантование является "искусством" и определяется физическим контекстом. (Две различные квантовые системы могут представлять собой две различные, неэквивалентные деформации одного и того же классического предела, ħ → 0). Далее ищутся унитарные представления этой квантовой алгебры. Относительно такого унитарного представления, симплектоморфизм в классической теории деформируется в (метаплектическое) унитарное преобразование. В частности, симплектоморфизм эволюции во времени, генерируемый классическим гамильтонианом, деформируется в унитарное преобразование, генерируемое соответствующим квантовым гамильтонианом. Дальнейшее обобщение состоит в рассмотрении многообразия Пуассона вместо симплектического пространства для классической теории и выполнении ħ-деформации соответствующей алгебры Пуассона или даже супермногообразия Пуассона.

Геометрическая квантование

В отличие от теории квантования деформаций, описанной выше, геометрическое квантование стремится построить фактическое гильбертово пространство и операторы на нём. Начиная с симплектического многообразия, первым шагом является построение предквантового гильбертова пространства, состоящего из пространства квадратично интегрируемых сечений подходящего расслоения прямой над этим многообразием. На этом пространстве все классические наблюдаемые можно отобразить в операторы на предквантовом гильбертовом пространстве, при этом коммутатор точно соответствует скобке Пуассона. Однако предквантовое гильбертово пространство явно слишком велико для описания квантования. Далее следует выбор поляризации, то есть (грубо говоря) выбор переменных на -мерном фазовом пространстве. Квантовое гильбертово пространство – это пространство сечений, которые зависят только от выбранных переменных, в том смысле, что они ковариантно постоянны в остальных направлениях. Если выбранные переменные вещественные, мы получаем нечто вроде традиционного гильбертова пространства Шрёдингера. Если выбранные переменные комплексные, мы получаем нечто вроде пространства Сегала — Баргмана.

Исторические ссылки

Сильван С. Швейбер: КЭД и те, кто его создал, Издательство Принстонского университета, 1994 год.