Гиперболическое дисконтирование: экономическая модель оценки будущих выгод.

Введение

Экономическая концепция

В экономике гиперболическое дисконтирование – это модель дисконтирования с задержкой, демонстрирующая непоследовательность во времени. Это один из краеугольных камней поведенческой экономики, и нейроэкономика активно изучает его нейронные основы. Согласно подходу дисконтированной полезности, межвременные выборы ничем не отличаются от других выборов, за исключением того, что некоторые последствия отложены во времени и, следовательно, должны быть предвосхищены и дисконтированы (то есть, переоценены с учетом задержки). При выборе между двумя схожими вознаграждениями люди предпочитают то, которое приходит быстрее. Считается, что люди уменьшают ценность более позднего вознаграждения, причем эта величина уменьшения возрастает с увеличением срока задержки. В финансовом мире этот процесс обычно моделируется с помощью экспоненциального дисконтирования – модели дисконтирования, демонстрирующей последовательность во времени. Многие психологические исследования показали отклонения в инстинктивных предпочтениях от постоянной ставки дисконтирования, предполагаемой в экспоненциальном дисконтировании. Гиперболическое дисконтирование – это альтернативная математическая модель, которая лучше соответствует этим результатам. Согласно гиперболическому дисконтированию, оценки снижаются относительно быстро в начале периода задержки (например, от сегодняшнего дня до одной недели), но затем замедляются для более длительных периодов задержки (например, более нескольких дней). Например, в одном из первых исследований участники заявили, что для них безразлично получить 15 долларов немедленно или 30 долларов через 3 месяца, 60 долларов через 1 год или 100 долларов через 3 года. Эти различия отражают годовые ставки дисконтирования, которые снижались с 277% до 139% и до 63% с увеличением срока задержки. Это контрастирует с экспоненциальным дисконтированием, при котором оценка снижается на постоянный коэффициент за единицу времени задержки, а ставка дисконтирования остается неизменной. Стандартный эксперимент для определения кривой гиперболического дисконтирования испытуемого заключается в сравнении краткосрочных и долгосрочных предпочтений. Например: «Вы предпочтете получить один доллар сегодня или три доллара завтра?» или «Вы предпочтете получить один доллар через год или три доллара через год и один день?» Утверждается, что значительная часть испытуемых предпочтет получить меньшую сумму сегодня, но с удовольствием подождет еще один день через год, чтобы получить большую сумму.

In economics, hyperbolic discounting is a time inconsistent model of delay discounting. It is one of the cornerstones of behavioral economics and its brain basis is actively being studied by neuroeconomics researchers. According to the discounted utility approach, intertemporal choices are no different from other choices, except that some consequences are delayed and hence must be anticipated and discounted (i. e., reweighted to take into account the delay). Given two similar rewards, humans show a preference for one that arrives in a more prompt timeframe. Humans are said to discount the value of the later reward, by a factor that increases with the length of the delay. In the financial world, this process is normally modeled in the form of exponential discounting, a time consistent model of discounting. Many psychological studies have since demonstrated deviations in instinctive preference from the constant discount rate assumed in exponential discounting. Hyperbolic discounting is an alternative mathematical model that agrees more closely with these findings. According to hyperbolic discounting, valuations fall relatively rapidly for earlier delay periods (as in, from now to one week), but then fall more slowly for longer delay periods (for instance, more than a few days). For example, in an early study subjects said they would be indifferent between receiving $15 immediately or $30 after 3 months, $60 after 1 year, or $100 after 3 years. These indifferences reflect annual discount rates that declined from 277% to 139% to 63% as delays got longer. This contrasts with exponential discounting, in which valuation falls by a constant factor per unit delay and the discount rate stays the same. The standard experiment used to reveal a test subject's hyperbolic discounting curve is to compare short term preferences with long term preferences. For instance: "Would you prefer a dollar today or three dollars tomorrow?" or "Would you prefer a dollar in one year or three dollars in one year and one day?" It has been claimed that a significant fraction of subjects will take the lesser amount today, but will gladly wait one extra day in a year in order to receive the higher amount instead.

Замечания

Феномен гиперболического дисконтирования подразумевается в "законе соответствия" Ричарда Хернштейна, который гласит, что при распределении своего времени или усилий между двумя неисключающими друг друга, продолжающимися источниками вознаграждения, большинство испытуемых распределяют их пропорционально скорости и размеру вознаграждений от этих источников и обратно пропорционально времени ожидания. То есть, выбор испытуемых "соответствует" этим параметрам. После сообщения об этом эффекте в контексте задержки, Джордж Эйнсли указал, что в ситуации выбора между большей, отложенной и меньшей, немедленной наградой, обратная пропорциональность задержке будет отражена графиком, представляющим ценность в зависимости от задержки, имеющим гиперболическую форму. И когда предпочтение отдается меньшей, немедленной награде, это предпочтение можно изменить, увеличив задержку обеих наград на одинаковую абсолютную величину. Исследование Эйнсли показало, что значительное число испытуемых заявили, что предпочли бы получить 50 долларов немедленно, а не 100 долларов через шесть месяцев, но НЕ предпочли бы получить 50 долларов через три месяца, а не 100 долларов через девять месяцев, хотя это был тот же выбор, представленный с задержкой в три месяца. Важно отметить, что те испытуемые, которые предпочли 50 долларов через три месяца 100 долларам через девять месяцев, заявили, что НЕ предпочли бы 50 долларов через двенадцать месяцев 100 долларам через восемнадцать месяцев – снова та же пара вариантов, но с другой задержкой – что демонстрирует, что эффект изменения предпочтения не зависел от привлекательности немедленного вознаграждения. Это также не зависит от человеческой культуры; первые результаты об изменении предпочтений были получены на крысах и голубях. Многие последующие эксперименты подтвердили, что спонтанные предпочтения как людей, так и животных следуют гиперболической кривой, а не традиционной экспоненциальной кривой, которая привела бы к последовательному выбору с течением времени. Например, если предложить выбор между 50 долларами сейчас и 100 долларами через год, многие люди выберут немедленные 50 долларов. Однако, если предложить выбор между 50 долларами через пять лет и 100 долларами через шесть лет, почти все выберут 100 долларов через шесть лет, хотя это тот же выбор, представленный с задержкой в пять лет. Гиперболическое дисконтирование также связано с реальными примерами самоконтроля. Действительно, в ряде исследований использовались показатели гиперболического дисконтирования, чтобы установить, что люди, зависимые от наркотиков, дисконтируют отложенные последствия в большей степени, чем соответствующие контрольные группы, не имеющие зависимости, что позволяет предположить, что чрезмерное дисконтирование задержки является фундаментальным поведенческим процессом при наркотической зависимости. Некоторые данные свидетельствуют о том, что патологические игроки также дисконтируют отложенные результаты с более высокой скоростью, чем контрольные группы. Пока неясно, предшествует ли высокая скорость гиперболического дисконтирования развитию зависимостей или наоборот, хотя некоторые исследования показали, что люди с высокой скоростью дисконтирования чаще употребляют алкоголь и кокаин, чем люди с низкой скоростью дисконтирования. Кроме того, некоторые предполагают, что высокая скорость гиперболического дисконтирования делает непредсказуемые (игровые) результаты более привлекательными. Степень дисконтирования имеет решающее значение для описания гиперболического дисконтирования, особенно при дисконтировании конкретных вознаграждений, таких как деньги. Дисконтирование денежных вознаграждений варьируется в зависимости от возраста из-за различий в скорости дисконтирования.

The phenomenon of hyperbolic discounting is implicit in Richard Herrnstein's "matching law", which states that when dividing their time or effort between two non exclusive, ongoing sources of reward, most subjects allocate in direct proportion to the rate and size of rewards from the two sources, and in inverse proportion to their delays. That is, subjects' choices "match" these parameters. After the report of this effect in the case of delay, George Ainslie pointed out that in a single choice between a larger, later and a smaller, sooner reward, inverse proportionality to delay would be described by a plot of value by delay that had a hyperbolic shape, and that when the smaller, sooner reward is preferred, this preference can be reversed by increasing both rewards' delays by the same absolute amount. Ainslie's research showed that a substantial number of subjects reported that they would prefer $50 immediately rather than $100 in six months, but would NOT prefer $50 in 3 months rather than $100 in nine months, even though this was the same choice seen at 3 months' greater distance. More significantly, those subjects who said they preferred $50 in 3 months to $100 in 9 months said they would NOT prefer $50 in 12 months to $100 in 18 months—again, the same pair of options at a different distance—showing that the preference reversal effect did not depend on the excitement of getting an immediate reward. Nor does it depend on human culture; the first preference reversal findings were in rats and pigeons. Many subsequent experiments have confirmed that spontaneous preferences by both human and nonhuman subjects follow a hyperbolic curve rather than the conventional, exponential curve that would produce consistent choice over time. For instance, when offered the choice between $50 now and $100 a year from now, many people will choose the immediate $50. However, given the choice between $50 in five years or $100 in six years almost everyone will choose $100 in six years, even though that is the same choice seen at five years' greater distance. Hyperbolic discounting has also been found to relate to real world examples of self control. Indeed, a variety of studies have used measures of hyperbolic discounting to find that drug dependent individuals discount delayed consequences more than matched nondependent controls, suggesting that extreme delay discounting is a fundamental behavioral process in drug dependence. Some evidence suggests pathological gamblers also discount delayed outcomes at higher rates than matched controls. Whether high rates of hyperbolic discounting precede addictions or vice versa is currently unknown, although some studies have reported that high rate discounters are more likely to consume alcohol and cocaine than lower rate discounters. Likewise, some have suggested that high rate hyperbolic discounting makes unpredictable (gambling) outcomes more satisfying. The degree of discounting is vitally important in describing hyperbolic discounting, especially in the discounting of specific rewards such as money. The discounting of monetary rewards varies across age groups due to the varying discount rate.

Пошаговое объяснение

Предположим, что в исследовании участникам предлагается выбор между немедленным получением x долларов или получением y долларов через n дней. Предположим далее, что один участник этого исследования использует экспоненциальное дисконтирование, а другой – гиперболическое дисконтирование. Оба участника знают, что они могут инвестировать деньги, полученные сегодня, в сберегательный план, который приносит им процентную ставку r. Оба они понимают, что им следует выбрать x долларов немедленно, если будущая стоимость сберегательного плана превысит y долларов через n дней. Каждый участник правильно понимает основной вопрос: «Для любого заданного значения y долларов и n дней, какова минимальная сумма x долларов, которую я должен быть готов принять? Иными словами, сколько долларов мне нужно инвестировать сегодня, чтобы получить y долларов через n дней?» Каждый выберет x долларов, если x больше, чем рассчитанное им значение, и y долларов через n дней, если x меньше этого значения. Однако методы, которые они используют для расчета этой суммы, и полученные результаты будут разными, и только экспоненциальный дисконтер использует правильный метод и получает надежно верный результат: экспоненциальный дисконтер думает: «Сберегательный план ежедневно увеличивает свою стоимость на r процентов от предыдущей стоимости. Таким образом, каждый день он умножает свою стоимость на (100% + r%). Следовательно, если я буду держать инвестицию в течение n дней, ее стоимость будет умножена на эту величину n раз, то есть ее стоимость станет (100% + r%)n от первоначальной – то есть (1 + r)n раз больше первоначальной. Чтобы выяснить, сколько мне нужно инвестировать сегодня, чтобы получить y долларов через n дней, мне нужно разделить y долларов на [1 + r]n». Гиперболический дисконтер, однако, думает: «Сберегательный план ежедневно увеличивает свою стоимость на r процентов. Следовательно, через n дней он увеличит свою стоимость на r×n процентов [Здесь заключается ошибка гиперболического дисконтера]. Чтобы выяснить, сколько мне нужно инвестировать сегодня, чтобы получить y долларов через n дней, я должен разделить y долларов на [1 + n×r]». По мере того как n становится очень большим, значение (1 + r)n становится значительно больше значения [1 + n×r], что приводит к тому, что значение y / (1 + r)n становится значительно меньше значения y/[1 + n×r]. Следовательно, минимальное значение x (сумма в долларах при немедленном выборе), которое должно быть больше этой суммы, будет намного меньше, чем думает гиперболический дисконтер, в результате чего он будет считать значения x в диапазоне от y/(1 + r)n до y/[1 + n×r] включительно слишком маленькими и, как следствие, иррационально отвергать эти альтернативы, хотя на самом деле они являются более выгодными инвестициями.

Suppose that in a study, participants are offered the choice between taking x dollars immediately or taking y dollars n days later. Suppose further that one participant in that study employs exponential discounting and another employs hyperbolic discounting. Both participants know that they can invest the money they receive today in a savings plan that gives them an interest of r. Both of them realize that they should take x dollars immediately if the future value of the savings plan will yield more than y dollars n days later. Each participant correctly understands the fundamental question being asked: "For any given value of y dollars and n days, what is the minimum amount x of dollars, that I should be willing to accept? In other words, how many dollars would I need to invest today to get y dollars n days from now?" Each will take x dollars if x is greater than the answer that they calculate, and each will take y dollars n days from now if x is smaller than that answer. However, the methods that they use to calculate that amount and the answers that they get will be different, and only the exponential discounter will use the correct method and get a reliably correct result:

The exponential discounter thinks "The savings plan adds to its value, in each day, r percent of the value that it had the previous day. So every day it multiplies its value once by (100% + r%). So if I hold the investment for n days, its value will have multiplied itself by this amount n times, making that value (100% + r%)n of what it was at the start – that is, (1 + r)n times what it was at the start. So to figure out how much I would need to start with today to get y dollars n days from now, I need to divide y dollars by [1 + r]n."
The hyperbolic discounter, however, thinks "The savings plan adds to its value, in each day, r percent. Therefore, after n days, it adds to its value r×n percent [There lies the hyperbolic discounter's error]. So to figure out how much I would need to start with today to get y dollars n days from now, I need to divide y dollars by [1 + n×r]." As n becomes very large, the value of (1 + r)n becomes much larger than the value of [1 + n×r], with the effect that the value of y / (1 + r)n becomes much smaller than the value of y/[1 + n×r]. Therefore, the minimum value of x (the number of dollars in the immediate choice) that suffices to be greater than that amount will be much smaller than the hyperbolic discounter thinks, with the result that they will perceive x values in the range from y/(1 + r )n to y/[1 + n×r] inclusive as being too small and, as a result, irrationally turn those alternatives down when they are in fact the better investment.

Сравнение

Если f — экспоненциальная функция дисконтирования, а g — гиперболическая функция (где D — количество недель задержки), то экспоненциальное дисконтирование через неделю от "сейчас" (D=0) равно , а экспоненциальное дисконтирование через неделю от недели D равно , что означает, что они идентичны. Для g(D) , что аналогично f. Из этого следует, что оба типа дисконтирования одинаковы в "сейчас", но когда D значительно больше 1, например, 52 (один год), f будет стремиться к 1, так что гиперболическое дисконтирование недели в далеком будущем практически равно нулю, в то время как экспоненциальный фактор дисконтирования все еще равен 1/2, что означает, что в далеком будущем сохраняется существенное дисконтирование.

Критика

Было предложено несколько альтернативных объяснений неэкспоненциального дисконтирования. В статье 2003 года отмечалось, что эта закономерность может быть лучше объяснена эвристикой сходства, чем гиперболическим дисконтированием. Испытуемые также сообщали об изменении относительных предпочтений по мере получения более подробной информации о вариантах выбора – эффект «временной концептуализации». Исследование Дэниела Рида вводит понятие «субаддитивного дисконтирования»: тот факт, что дисконтирование при увеличении задержки возрастает, если задержка разделена на более мелкие интервалы. Эта гипотеза может объяснить основной результат многих исследований, подтверждающих гиперболическое дисконтирование – наблюдение о том, что нетерпение уменьшается со временем – и одновременно учитывать наблюдения, не предсказываемые гиперболическим дисконтированием. Однако, хотя эти наблюдения отклоняются от экспоненциального дисконтирования, они не приводят к полному изменению предпочтений с увеличением времени между моментом выбора и моментом получения более раннего вознаграждения. Возбуждение аппетита или эмоций иногда приводит к изменению предпочтений, и это является наиболее широко признанной альтернативой простой гиперболической функции: гиперболоидное или квазигиперболическое дисконтирование объединяет экспоненциальные кривые с пиком возбуждения по мере приближения висцерального вознаграждения. Такие случаи, безусловно, важны, но все же не объясняют ситуации, когда ни один из вариантов или оба варианта не выбираются в состоянии возбуждения. Наиболее очевидное возражение против гиперболического дисконтирования заключается в том, что многие или большинство людей со временем учатся делать последовательный выбор в большинстве ситуаций. Аналогично, в статье 2014 года критиковались существующие исследования за то, что они в основном использовали данные, собранные у студентов университетов, и слишком быстро приходили к выводу о правильности гиперболической модели дисконтирования. В экспериментах с участием людей часто наблюдаются значительные индивидуальные различия. Если преодоление склонности к временным предпочтениям требует обучения, следующей очевидной задачей для исследователей является проверка теорий о том, как и когда происходит это обучение (например, Ainslie, 2012).