Представления группы диффеоморфизмов гладких многообразий
Representation theory of diffeomorphism groups
Представления диффеоморфизмов гладких многообразий: обзор теории, возникшей из физики (алгебра тока). Работы Вершика, Гельфанда, Кириллова и Исмагилова.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Теория представлений симметрий многообразий
Representation theory of the symmetries of manifolds
В математике источником теории представлений группы диффеоморфизмов гладкого многообразия M является исходное замечание о том, что (при связности M) эта группа действует транзитивно на M.
In mathematics, a source for the representation theory of the group of diffeomorphisms of a smooth manifold M is the initial observation that (for M connected) that group acts transitively on M.
История
В обзорной работе 1975 года, посвященной этой теме и написанной Анатолием Вершиком, Израилем Гельфандом и М. И. Граевым, первоначальный интерес к ней связывают с исследованиями в теоретической физике, в частности, с локальной алгеброй токов, которые проводились в предшествующие годы. Исследования представлений конечных конфигураций были опубликованы в работах Р. С. Исмагилова (1971) и А. А. Кириллова (1974). Представления, представляющие интерес для физики, описываются как перекрестное произведение C∞(M) · Diff(M).
A survey paper from 1975 of the subject by Anatoly Vershik, Israel Gelfand and M. I. Graev attributes the original interest in the topic to research in theoretical physics of the local current algebra, in the preceding years. Research on the finite configuration representations was in papers of R. S. Ismagilov (1971), and A. A. Kirillov (1974). The representations of interest in physics are described as a cross product C∞(M)·Diff(M).
Переплетающаяся структура
В общем случае, пространство сечений тензорных и струйных расслоений представляет собой неприводимое представление, и мы часто рассматриваем их подпредставления. Мы можем изучать структуру этих представлений, исследуя интервинтеры между ними. Если волокно не является неприводимым представлением Diffx1(M), то может существовать ненулевой интервинтер, отображающий каждое волокно поточечно в меньшее фактор-представление. Кроме того, внешняя производная является интервинтером из пространства дифференциальных форм в другое представление более высокого порядка. (Другие производные таковыми не являются, поскольку связности не являются инвариантными относительно диффеоморфизмов, хотя и ковариантны.) Частная производная не является инвариантной относительно диффеоморфизмов. Существует производный интервинтер, переводящий сечения струйного расслоения порядка p в сечения струйного расслоения порядка p + 1.
In general, the space of sections of the tensor and jet bundles would be an irreducible representation and we often look at a subrepresentation of them. We can study the structure of these reps through the study of the intertwiners between them. If the fiber is not an irreducible representation of Diffx1(M), then we can have a nonzero intertwiner mapping each fiber pointwise into a smaller quotient representation. Also, the exterior derivative is an intertwiner from the space of differential forms to another of higher order. (Other derivatives are not, because connections aren't invariant under diffeomorphisms, though they are covariant.) The partial derivative isn't diffeomorphism invariant. There is a derivative intertwiner taking sections of a jet bundle of order p into sections of a jet bundle of order p + 1.