Введение
В математике, особенно в функциональном анализе и теории колец, приближённое тождество — это направленная сеть в банаховой алгебре или кольце (как правило, без единицы), которая выполняет роль элемента тождества.
Определение
Правая приблизительная единица в банаховой алгебре A — это сеть {eα}, такая, что для каждого элемента a из A, limα eαa = a. Аналогично, левая приблизительная единица в банаховой алгебре A — это сеть {eα}, такая, что для каждого элемента a из A, limα aeα = a. Приблизительная единица — это сеть, которая является одновременно правой и левой приблизительной единицей.
C*-алгебры
Для C*-алгебры, правый (или левый) приблизительный единичный элемент, состоящий из самосопряжённых элементов, эквивалентен обычному приблизительному единичному элементу. Сеть всех положительных элементов в A с нормой, не превосходящей 1, с естественным порядком, является приблизительным единичным элементом для любой C*-алгебры. Это называется каноническим приблизительным единичным элементом C*-алгебры. Приблизительные единичные элементы не единственны. Например, для компактных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, сеть, состоящая из проекций конечного ранга, будет другим приблизительным единичным элементом. Если приблизительный единичный элемент является последовательностью, он называется последовательным приблизительным единичным элементом, а C*-алгебра, имеющая последовательный приблизительный единичный элемент, называется σ-унитальной. Каждая сепарабельная C*-алгебра является σ-унитальной, хотя обратное неверно. Коммутативная C*-алгебра является σ-унитальной тогда и только тогда, когда её спектр σ-компактен. В общем случае, C*-алгебра A является σ-унитальной тогда и только тогда, когда A содержит строго положительный элемент, то есть существует h в A+, такой что наследственная C*-субальгебра, порождённая h, равна A. Иногда рассматриваются приблизительные единичные элементы, состоящие из элементов определённого типа. Например, C*-алгебра имеет вещественный ранг ноль тогда и только тогда, когда каждая наследственная C*-субальгебра имеет приблизительный единичный элемент, состоящий из проекций. Это ранее было известно как свойство (HP).
Алгебры свертывания
Приблизительная единица в сверточной алгебре играет ту же роль, что и последовательность приближений к дельта-функции Дирака (которая является единичным элементом для свертки). Например, ядра Фейера из теории рядов Фурье порождают приблизительную единицу.
Кольца
В теории колец приблизительное тождество определяется аналогичным образом, за исключением того, что кольцу придается дискретная топология, так что a = aeλ для некоторого λ. Модуль над кольцом с приблизительным тождеством называется недегенерированным, если для любого m из модуля существует такое λ, что m = meλ.