Введение
Уникальная алгебра фон Неймана
В математике существует ровно два раздельно действующих гиперконечных фактора типа II, эквивалентных с точностью до изоморфизма: один бесконечный и один конечный. Мюррей и фон Нейман доказали, что существует единственная алгебра фон Неймана, эквивалентная с точностью до изоморфизма, которая является фактором типа II1 и при этом гиперконечной; она называется гиперконечным фактором типа II1. Существует несчетное множество других факторов типа II1. Конн доказал, что бесконечный фактор также единственен.
In mathematics, there are up to isomorphism exactly two separably acting hyperfinite type II factors; one infinite and one finite. Murray and von Neumann proved that up to isomorphism there is a unique von Neumann algebra that is a factor of type II1 and also hyperfinite; it is called the hyperfinite type II1 factor. There are an uncountable number of other factors of type II1. Connes proved that the infinite one is also unique.
Строительство
Алгебра группы фон Неймана дискретной группы, обладающей свойством бесконечного класса сопряжённости, является фактором типа II1, и если группа аменна и счётна, то фактор является гиперконечным. Существует множество групп, обладающих этими свойствами, так как любая локально конечная группа является аменной. Например, алгебра группы фон Неймана бесконечной симметрической группы всех перестановок счётного бесконечного множества, фиксирующих все элементы, кроме конечного числа, даёт гиперконечный фактор типа II1. Гиперконечный фактор типа II1 также возникает из конструкции группового пространства мер для эргодических свободных измеримо-сохраняющих действий счётных аменных групп на пространствах вероятностей. Бесконечное тензорное произведение счётного числа факторов типа In относительно их трассировочных состояний является гиперконечным фактором типа II1. При n=2 это также иногда называют алгеброй Клиффорда бесконечного сепарабельного гильбертова пространства. Если p – любая ненулевая конечная проекция в гиперконечном алгебре фон Неймана A типа II, то pAp является гиперконечным фактором типа II1. Эквивалентно, фундаментальная группа A – это группа положительных вещественных чисел. Это часто трудно увидеть напрямую. Однако это очевидно, когда A является бесконечным тензорным произведением факторов типа In, где n пробегает все целые числа, большие 1, бесконечно много раз: достаточно взять p эквивалентным бесконечному тензорному произведению проекций pn, на которых трассировочное состояние равно либо 0, либо 1.
Бесконечный гиперконечный фактор типа II
Хотя существуют и другие факторы типа II∞, существует единственный, с точностью до изоморфизма, гиперконечный фактор. Он состоит из бесконечных квадратных матриц с элементами в гиперконечном факторе типа II1, которые задают ограниченные операторы.