Введение
Длина в векторном пространстве
нормы нормированных векторных пространств
В математике норма — это функция, отображающая реальное или комплексное векторное пространство в неотрицательные действительные числа, которая обладает определенными свойствами, аналогичными расстоянию от начала координат: она коммутирует с масштабированием, удовлетворяет форме неравенства треугольника и равна нулю только в начале координат. В частности, евклидово расстояние в евклидовом пространстве определяется нормой на соответствующем евклидовом векторном пространстве, называемой евклидовой нормой, нормой 2 или, иногда, модулем вектора. Эта норма может быть определена как квадратный корень из внутреннего произведения вектора на себя. Семинорма удовлетворяет первым двум свойствам нормы, но может быть равна нулю для векторов, отличных от начала координат. Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством. Аналогично, векторное пространство, снабженное семинормой, называется семинормированным векторным пространством. Термин «псевдонорма» используется в нескольких связанных значениях. Он может быть синонимом «семинорма». Псевдонорма может удовлетворять тем же аксиомам, что и норма, но с заменой равенства на неравенство в аксиоме однородности. Также он может относиться к норме, которая может принимать бесконечные значения, или к некоторым функциям, параметризованным направленным множеством.
norms of normed vector spaces
In mathematics, a norm is a function from a real or complex vector space to the non negative real numbers that behaves in certain ways like the distance from the origin: it commutes with scaling, obeys a form of the triangle inequality, and is zero only at the origin. In particular, the Euclidean distance in a Euclidean space is defined by a norm on the associated Euclidean vector space, called the Euclidean norm, the 2 norm, or, sometimes, the magnitude of the vector. This norm can be defined as the square root of the inner product of a vector with itself. A seminorm satisfies the first two properties of a norm, but may be zero for vectors other than the origin. A vector space with a specified norm is called a normed vector space. In a similar manner, a vector space with a seminorm is called a seminormed vector space. The term pseudonorm has been used for several related meanings. It may be a synonym of "seminorm". A pseudonorm may satisfy the same axioms as a norm, with the equality replaced by an inequality "" in the homogeneity axiom. It can also refer to a norm that can take infinite values, or to certain functions parametrised by a directed set.
Евклидова норма комплексных чисел
Евклидова норма комплексного числа — это его абсолютное значение (также называемое модулем), если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскостью. Такое отождествление комплексного числа с вектором в евклидовой плоскости делает величину (как впервые предложил Эйлер) евклидовой нормой, связанной с этим комплексным числом. Для z норма также может быть записана как |z|, где z̄ — комплексно сопряжённое к z.
Расстояние от нуля до вектора
В метрической геометрии дискретная метрика принимает значение один для различных точек и ноль – в противном случае. При применении покомпонентно к элементам векторного пространства, дискретное расстояние определяет расстояние Хэмминга, которое важно в кодировании и теории информации. В области действительных или комплексных чисел расстояние дискретной метрики от нуля не является однородным в ненулевой точке; фактически, расстояние от нуля остаётся равным одному, когда его ненулевой аргумент стремится к нулю. Однако дискретное расстояние числа от нуля удовлетворяет другим свойствам нормы, а именно неравенству треугольника и положительной определённости. При применении покомпонентно к векторам, дискретное расстояние от нуля ведёт себя как неоднородная "норма", которая подсчитывает количество ненулевых компонент в векторном аргументе; опять же, эта неоднородная "норма" является разрывной. В обработке сигналов и статистике Дэвид Донохо использовал кавычки при упоминании нулевой "нормы". Следуя обозначениям Донохо, нулевая "норма" – это просто число ненулевых координат или расстояние Хэмминга вектора от нуля. Когда эта "норма" локализована в ограниченном множестве, она является пределом p-норм при p, стремящемся к 0. Разумеется, нулевая "норма" не является настоящей нормой, поскольку она не является положительно однородной. Более того, это даже не F-норма в вышеуказанном смысле, так как она разрывна как по отношению к скалярному аргументу в скалярно-векторном умножении, так и по отношению к векторному аргументу. Злоупотребляя терминологией, некоторые инженеры опускают кавычки Донохо и некорректно называют функцию, подсчитывающую число ненулевых элементов, нормой, имитируя обозначение пространства Лебега измеримых функций.
В абстрактной алгебре
Пусть является конечным расширением поля с неразделимой степенью и пусть имеет алгебраическое замыкание. Если различными вложениями являются , то теоретическая норма Галуа элемента равна значению . Поскольку эта функция однородна по степени , теоретическая норма Галуа не является нормой в смысле данной статьи. Однако, -й корень из нормы (если эта концепция имеет смысл) является нормой.
Алгебры композиции
Понятие нормы в композиционных алгебрах не обладает обычными свойствами нормы, так как допускаются нулевые векторы. Композиционная алгебра состоит из алгебры над полем, инволюции и квадратичной формы, называемой "норма". Характерной чертой композиционных алгебр является свойство гомоморфизма: для произведения двух элементов композиционной алгебры их норма удовлетворяет условию . В случае алгебр деления норма композиционной алгебры является квадратом нормы, рассмотренной выше. В этих случаях норма является определенной квадратичной формой. В расщепленных алгебрах норма является изотропной квадратичной формой.