Введение
Условие локальности в квантовой теории поля
В физике свойство разложения кластеров утверждает, что эксперименты, проводимые на большом расстоянии друг от друга, не могут оказывать влияния друг на друга. Обычно применяемое к квантовой теории поля, оно требует, чтобы вакуумные средние значения операторов, локализованных в ограниченных областях, факторизовались, когда эти области оказываются достаточно удалены друг от друга. Впервые сформулированное Эйвиндом Вихманом и Джеймсом Х. Крихтоном в 1963 году в контексте S-матрицы, было предположено Стивеном Вайнбергом, что в пределе низких энергий свойство разложения кластеров, вместе с инвариантностью Лоренца и квантовой механикой, неизбежно приводит к квантовой теории поля. Теория струн удовлетворяет всем трем условиям и, таким образом, представляет собой контрпример, опровергающий это утверждение для всех энергетических масштабов.
In physics, the cluster decomposition property states that experiments carried out far from each other cannot influence each other. Usually applied to quantum field theory, it requires that vacuum expectation values of operators localized in bounded regions factorize whenever these regions becomes sufficiently distant from each other. First formulated by Eyvind Wichmann and James H. Crichton in 1963 in the context of the S matrix, it was conjectured by Steven Weinberg that in the low energy limit the cluster decomposition property, together with Lorentz invariance and quantum mechanics, inevitably lead to quantum field theory. String theory satisfies all three of the conditions and so provides a counter example against this being true at all energy scales.
Свойства
Если теория построена на операторах рождения и уничтожения, то свойство разложения на кластеры выполняется автоматически. Это можно увидеть, раскладывая S-матрицу в сумму диаграмм Фейнмана, что позволяет отождествить связанные элементы S-матрицы со связанными диаграммами Фейнмана. Вершины возникают всякий раз, когда операторы рождения и уничтожения перестанавливаются друг относительно друга, оставляя после себя одну дельта-функцию импульса. В любой связанной диаграмме с V вершинами, I внутренними линиями и L петлями, I*L дельта-функций используются для фиксации внутренних импульсов, оставляя V - (I*L) дельта-функций нефиксированными. Форма формулы Эйлера утверждает, что любой граф с C несвязными компонентами удовлетворяет соотношению C = V - I + L. Поскольку связанные элементы S-матрицы соответствуют диаграммам с C=1, они содержат только одну дельта-функцию, и, следовательно, свойство разложения на кластеры, сформулированное выше в импульсном пространстве в терминах дельта-функций, выполняется. Микрокаузальность, условие локальности, требующее, чтобы коммутаторы локальных операторов равнялись нулю при пространственноподобном разделении, является достаточным условием для выполнения S-матрицей свойства разложения на кластеры. В этом смысле разложение на кластеры выполняет аналогичную функцию для S-матрицы, как микрокаузальность для полей, предотвращая причинное влияние между удалёнными областями. Однако разложение на кластеры слабее, чем отсутствие сверхсветовой причинности, поскольку его можно сформулировать и для классических теорий. Ключевым требованием для разложения на кластеры является наличие единственного вакуумного состояния, в противном случае, если вакуумное состояние является смешанным, оно не выполняется. Скорость, с которой факторизуются корреляционные функции, зависит от спектра теории: если существует щель в массе величиной m, то наблюдается экспоненциальное убывание, а если присутствуют безмассовые частицы, то факторизация может происходить медленнее, как .