Введение

Британский математик и изобретатель

Томас Симпсон (20 августа 1710 – 14 мая 1761) – британский математик и изобретатель, известный правилом Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов. Авторство, как это часто бывает в математике, может оспариваться: это правило было открыто Иоганном Кеплером за 100 лет до Симпсона, и в немецком языке оно называется Keplersche Fassregel, что приблизительно переводится как "правило бочки Кеплера".

Биография

Симпсон родился в Саттон-Чейни, Лестершир. Сын ткача, Симпсон самостоятельно изучал математику. В девятнадцатилетнем возрасте он женился на пятидесятилетней вдове с двумя детьми. В юности, увидев солнечное затмение, он увлекся астрологией. Он также пробовал себя в прорицаниях и вызвал припадок у девушки, якобы «изгнав из неё дьявола». После этого инцидента он с женой бежали в Дерби. В возрасте двадцати пяти лет он переехал с женой и детьми в Лондон, где содержал семью, занимаясь ткачеством днем и преподавая математику ночью. С 1743 года он преподавал математику в Королевской военной академии в Вулвиче. Симпсон был членом Королевского общества. В 1758 году Симпсон был избран иностранным членом Королевской шведской академии наук. Он умер в Маркет-Босворте и был похоронен в Саттон-Чейни. В церкви установлена мемориальная доска в его память.

Ранние работы

Трактат Симпсона под названием «Природа и законы случая» и «Доктрина аннуитетов и реверсий» основывался на работах Де Муавра и представлял собой попытку изложить тот же материал более кратко и понятно. Симпсон ясно заявил об этом в книге «Природа и законы случая», ссылаясь на «Доктрину шансов» Абрахама Де Муавра: «хотя она и не лишена содержания и изящества, но, как я понимаю, цена могла оказаться непосильной для многих». В обеих своих работах Симпсон ссылался на труд Де Муавра и не претендовал на оригинальность, кроме представления некоторых более точных данных. Хотя поначалу у них были хорошие отношения, Де Муавр в конечном итоге почувствовал, что его доходы находятся под угрозой из-за работы Симпсона, и во втором издании «Annuities upon Lives» написал в предисловии:

«После усилий, которые я приложил для совершенствования этого второго издания, может случиться, что некий человек, которого нет нужды называть по имени, из сострадания к публике, опубликует второе издание своей книги на ту же тему по весьма умеренной цене, не заботясь о том, искажает ли он мои положения, затемняет ли ясное, демонстрирует ли новые правила и работает, используя мои результаты; вкратце, как обычно, путает все множеством бесполезных символов; если это так, я должен простить бедного автора и его разочарованного книгопродавца».

Работа

Метод, обычно называемый правилом Симпсона, был известен и использовался ранее Бонавентурой Кавальери (учеником Галилея) в 1639 году, а позже Джеймсом Грегори; тем не менее, долгая популярность учебников Симпсона обуславливает ассоциацию с его именем, поскольку многие читатели могли узнать о нем именно из этих учебников. В контексте споров, касающихся методов, предложенных Рене Декартом, Пьер де Ферма предложил задачу найти точку D, для которой сумма расстояний до трех заданных точек A, B и C будет минимальной, задачу, популяризированную в Италии Марин Мерсенном в начале 1640-х годов. Симпсон рассматривает эту проблему в первой части «Доктрины и применения флюкций» (1750) на страницах 26–28, описывая круговые дуги, при которых стороны треугольника ABC образуют угол в π/3; во второй части книги, на страницах 505–506, он расширяет этот геометрический метод, по сути, до взвешенных сумм расстояний. В нескольких книгах Симпсона содержатся подборки задач оптимизации, решаемых простыми геометрическими соображениями аналогичным образом, что (для Симпсона) служит поучительным дополнением к возможному решению методами флюкционального (дифференциального) исчисления. Однако Симпсон не рассматривает эту проблему в эссе о геометрических задачах на максимум и минимум, приложенном к его учебнику по геометрии 1747 года, хотя она появляется в значительно переработанном издании 1760 года. Впрочем, полезно обратить внимание на статью на английском языке, написанную на восемьдесят лет раньше, как на свидетельство того, что основные идеи уже были известны в то время: J. Collins, «A Solution, Given by Mr. John Collins of a Chorographical Probleme, Proposed by Richard Townley Esq. Who Doubtless Hath Solved the Same Otherwise», Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 6 (1671), стр. 2093–2096. Дополнительный интерес представляют задачи, предложенные в начале 1750-х годов Дж. Орчардом в «Британском палладиуме» и Т. Моссом в «Дневнике леди» или «Женском альманахе» (в тот период еще не редактировавшемся Симпсоном).

Проблема треугольника Симпсона-Вебера

Этот тип обобщения позже был популяризирован Альфредом Вебером в 1909 году. Проблема треугольника Симпсона-Вебера заключается в нахождении точки D относительно трех точек A, B и C таким образом, чтобы сумма транспортных издержек между D и каждой из трех других точек была минимальной. В 1971 году Люк Норманд Телльер нашел первое прямое (неитеративное) численное решение задач Ферма и треугольника Симпсона-Вебера. Задолго до работ фон Тюнена, восходящих к 1818 году, задача Ферма может рассматриваться как начало пространственной экономики. В 1985 году Люк Норманд Теллье сформулировал совершенно новую задачу, названную «проблемой притяжения-отталкивания», которая является обобщением как задачи Ферма, так и проблемы Симпсона-Вебера. В своей простейшей формулировке задача притяжения-отталкивания заключается в нахождении точки D относительно трех точек A1, A2 и R таким образом, чтобы силы притяжения, действующие со стороны точек A1 и A2, и сила отталкивания, действующая со стороны точки R, компенсировали друг друга. В той же книге Теллье впервые решил эту задачу в треугольном случае и переосмыслил теорию пространственной экономики, в особенности теорию земельной ренты, в свете концепций притягательных и отталкивающих сил, вытекающих из задачи притяжения-отталкивания. Эта задача впоследствии была более подробно проанализирована математиками, такими как Чен, Хансен, Жамар и Туй (1992), а также Джалал и Краруп (2003). Оттавиано и Тиссе (2005) рассматривают задачу притяжения-отталкивания как прелюдию к новой экономической географии, которая развивалась в 1990-х годах и принесла Полу Кругману Нобелевскую премию по экономическим наукам в 2008 году.