Введение
В математике, дифференциал первого рода — традиционный термин, используемый в теориях поверхностей Римана (в более общем смысле, комплексных многообразий) и алгебраических кривых (в более общем смысле, алгебраических многообразий) для повсеместно регулярных дифференциальных 1-форм. Для комплексного многообразия M дифференциал первого рода ω, следовательно, является тем же самым, что и 1-форма, голоморфная во всех точках; на несингулярном алгебраическом многообразии V это будет глобальным сечением когерентного пучка Ω1 кэлеровых дифференциалов. В любом случае, определение восходит к теории абелевых интегралов. Размерность пространства дифференциалов первого рода, посредством этой отождествления, равна числу Ходжа h1,0. Дифференциалы первого рода, при интегрировании вдоль путей, порождают интегралы, которые обобщают эллиптические интегралы на все кривые над комплексными числами. К ним относятся, например, гиперэллиптические интегралы вида, где Q — многочлен без кратных корней любой степени > 4. Допустимая степень k должна быть определена путем анализа возможного полюса в точке на бесконечности на соответствующей гиперэллиптической кривой. При этом обнаруживается, что условие имеет вид k ≤ g − 1, или, другими словами, k не превосходит 1 при степени Q равной 5 или 6, не превосходит 2 при степени 7 или 8 и так далее (поскольку g = [(1 + deg Q) / 2]). В общем случае, как показывает этот пример, для компактной поверхности Римана или алгебраической кривой число Ходжа равно роду g. Для алгебраических поверхностей это величина, классически известная как неполнота q. Кроме того, в общем случае это размерность альбанезского многообразия, которое заменяет многообразие Якоби.
h1,0. The differentials of the first kind, when integrated along paths, give rise to integrals that generalise the elliptic integrals to all curves over the complex numbers. They include for example the hyperelliptic integrals of type
where Q is a square free polynomial of any given degree > 4. The allowable power k has to be determined by analysis of the possible pole at the point at infinity on the corresponding hyperelliptic curve. When this is done, one finds that the condition is
k ≤ g − 1,
or in other words, k at most 1 for degree of Q 5 or 6, at most 2 for degree 7 or 8, and so on (as g = [(1+ deg Q)/2]). Quite generally, as this example illustrates, for a compact Riemann surface or algebraic curve, the Hodge number is the genus g. For the case of algebraic surfaces, this is the quantity known classically as the irregularity q. It is also, in general, the dimension of the Albanese variety, which takes the place of the Jacobian variety.
Дифференциалы второго и третьего рода
Традиционная терминология также включала дифференциалы второго и третьего рода. Идея, лежащая в основе этого, нашла подтверждение в современных теориях алгебраических дифференциальных форм, как в рамках более общей теории Ходжа, так и посредством использования морфизмов в коммутативные алгебраические группы. В теории эллиптических функций функция Вейерштрасса дзета называлась интегралом второго рода; она является логарифмической производной тета-функции и, следовательно, имеет простые полюса с целочисленными вычетами. Разложение (мероморфной) эллиптической функции на составляющие "трех видов" аналогично представлению в виде (i) константы, плюс (ii) линейной комбинации сдвигов функции дзета Вейерштрасса, плюс (iii) функции с произвольными полюсами, но без вычетов в них. Аналогичное разложение существует в общем случае, mutatis mutandis, хотя терминология не всегда последовательна. В теории алгебраических групп (обобщенных якобианов) эти три вида представлены абелевыми многообразиями, алгебраическими торами и аффинными пространствами, а разложение выражается через ряд композиций. С другой стороны, мероморфный абелевский дифференциал второго рода традиционно определяется как дифференциал, имеющий нулевые вычеты во всех полюсах. Дифференциал третьего рода – это дифференциал, у которого все полюса простые. Существует обобщение на случай большей размерности с использованием остатка Пуанкаре.