Введение
Математическая функция, связанная с алгебраическими многообразиями. В математике, функция дзета Хассе — Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию V, определенному над алгебраическим числовым полем K, является мероморфной функцией на комплексной плоскости, определяемой через число точек на многообразии после сведения по модулю каждого простого числа p. Это глобальная L-функция, определяемая как произведение Эйлера локальных дзета-функций. L-функции Хассе — Вейля образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, наряду с L-функциями, связанными с автоморфными представлениями. Предположительно, эти два типа глобальных L-функций на самом деле представляют собой два описания одного и того же типа глобальной L-функции; это стало бы широким обобщением гипотезы Таниямы — Вейля, которая сама по себе является важным результатом в теории чисел. Для эллиптической кривой над числовым полем K, функция дзета Хассе — Вейля, согласно гипотезе Бирча и Суиннертона-Дайера, связана с группой рациональных точек эллиптической кривой над K.
In mathematics, the Hasse–Weil zeta function attached to an algebraic variety V defined over an algebraic number field K is a meromorphic function on the complex plane defined in terms of the number of points on the variety after reducing modulo each prime number p. It is a global L function defined as an Euler product of local zeta functions. Hasse–Weil L functions form one of the two major classes of global L functions, alongside the L functions associated to automorphic representations. Conjecturally, these two types of global L functions are actually two descriptions of the same type of global L function; this would be a vast generalisation of the Taniyama Weil conjecture, itself an important result in number theory. For an elliptic curve over a number field K, the Hasse–Weil zeta function is conjecturally related to the group of rational points of the elliptic curve over K by the Birch and Swinnerton Dyer conjecture.
Предположение Хассе-Вейла
Предположение Хассе — Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе — Вейля должна быть расширена до мероморфной функции для всех комплексных s и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами предположение Хассе — Вейля следует из теоремы о модулярности.
Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера
Предположение Бирча и Свиннертона-Дайера утверждает, что ранг абелевой группы E(K) точек эллиптической кривой E равен порядку нуля функции Хассе — Вейля L(E, s) при s = 1, и что первый ненулевой коэффициент в разложении Тейлора функции L(E, s) при s = 1 определяется более точными арифметическими данными, связанными с E над K. Это предположение входит в число семи задач тысячелетия, предложенных Институтом математики Клэя, который объявил приз в 1 000 000 долларов США за первое корректное доказательство.