Введение

Алгоритм обработки сигналов

В обработке сигналов фильтр Винера — это фильтр, используемый для получения оценки желаемого или целевого случайного процесса посредством линейной стационарной фильтрации наблюдаемого зашумленного процесса, при известных стационарных спектрах сигнала и шума, и при условии аддитивного шума. Фильтр Винера минимизирует среднеквадратичную ошибку между оцененным случайным процессом и желаемым процессом.

Фильтрационные растворы Wiener

Пусть – неизвестный сигнал, который необходимо оценить на основе измерительного сигнала , где альфа – настраиваемый параметр. известно как предсказание, – как фильтрация, а – как сглаживание (см. главу о винеровской фильтрации в для получения более подробной информации). Задача винеровской фильтрации имеет решения для трех возможных случаев: случай, когда допустим некаузальный фильтр (требующий бесконечного количества как прошлых, так и будущих данных), случай, когда требуется каузальный фильтр (использующий бесконечное количество прошлых данных), и случай с конечной импульсной характеристикой (FIR), когда используются только входные данные (то есть результат или выход не возвращается на вход фильтра, как в случае IIR). Первый случай легко решается, но не подходит для приложений реального времени. Главным достижением Винера стало решение случая, когда действует требование причинности; Норман Левинсон представил решение для FIR-фильтра в приложении к книге Винера.

Непричинное решение

где – спектральные плотности. Если является оптимальным, то уравнение наименьшей среднеквадратичной ошибки упрощается до

и решение – это обратное двустороннее преобразование Лапласа от .

Отношение к фильтру наименьших квадратов

Реализация каузального фильтра Винера очень похожа на решение задачи наименьших квадратов, но рассматривается в области обработки сигналов. Решение задачи наименьших квадратов для входной матрицы и выходного вектора имеет вид

FIR-фильтр Винера связан с фильтром наименьших средних квадратов, однако минимизация критерия ошибки последнего не опирается на перекрестные и автокорреляции. Его решение сходится к решению фильтра Винера.

История

Фильтр был предложен Норбертом Винером в 1940-х годах и опубликован в 1949 году. Дискретный по времени эквивалент работы Винера был независимо выведен Андреем Колмогоровым и опубликован в 1941 году. Таким образом, теория часто называется теорией фильтрации Винера — Колмогорова (ср. Кригинг). Фильтр Винера стал первым статистически спроектированным фильтром и впоследствии послужил основой для разработки многих других, включая фильтр Калмана.