Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Характеристики конических сечений: эксцентриситет и вершина на графике
Characteristic of conic sections
the eccentricity of a vertex in a graph
В математике эксцентриситет конического сечения — это неотрицательное вещественное число, которое однозначно определяет его форму. Эксцентриситет можно рассматривать как меру отклонения конического сечения от окружности. В частности:
In mathematics, the eccentricity of a conic section is a non negative real number that uniquely characterizes its shape. One can think of the eccentricity as a measure of how much a conic section deviates from being circular. In particular:
Эксцентриситет окружности равен 0. Эксцентриситет эллипса, не являющегося окружностью, находится между 0 и 1. Эксцентриситет параболы равен 1. Эксцентриситет гиперболы больше 1. Эксцентриситет пары прямых равен…
The eccentricity of a circle is 0. The eccentricity of an ellipse which is not a circle is between 0 and 1. The eccentricity of a parabola is 1. The eccentricity of a hyperbola is greater than 1. The eccentricity of a pair of lines is
Две конические секции с одинаковым эксцентриситетом подобны.
Two conic sections with the same eccentricity are similar.
Определения
Любой конический разрез может быть определен как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) и расстояния до фиксированной прямой (директрисы) является постоянной величиной. Эта величина называется эксцентриситетом и обычно обозначается буквой e.
Any conic section can be defined as the locus of points whose distances to a point (the focus) and a line (the directrix) are in a constant ratio. That ratio is called the eccentricity, commonly denoted as e.
Эксцентриситет также может быть определен через пересечение плоскости и двуполого конуса, связанного с данным коническим разрезом. Если конус ориентирован вертикально, то эксцентриситет равен
The eccentricity can also be defined in terms of the intersection of a plane and a double napped cone associated with the conic section. If the cone is oriented with its axis vertical, the eccentricity is
где β – угол между плоскостью и горизонтальной плоскостью, а α – угол между образующей конуса и горизонтальной плоскостью. При β плоскость сечения представляет собой окружность, при β – параболу. (Плоскость не должна проходить через вершину конуса.) Половина фокусного расстояния эллипса или гиперболы, обозначаемая c (иногда f или e), – это расстояние между центром конического сечения и одним из его фокусов. Эксцентриситет можно определить как отношение половины фокусного расстояния к большой полуоси a: то есть (поскольку парабола не имеет центра, её половина фокусного расстояния не определена). Следует отметить, что параболу можно рассматривать как эллипс или гиперболу, у которых одна из фокусных точек находится в бесконечности.
where β is the angle between the plane and the horizontal and α is the angle between the cone's slant generator and the horizontal. For the plane section is a circle, for a parabola. (The plane must not meet the vertex of the cone.) The half focal separation of an ellipse or hyperbola, denoted c (or sometimes f or e), is the distance between its center and either of its two foci. The eccentricity can be defined as the ratio of the half focal separation to the semimajor axis a: that is, (lacking a center, the half focal separation for parabolas is not defined). It is worth to note that a parabola can be treated as an ellipse or a hyperbola, but with one focal point at infinity.
Альтернативные названия
В случае эллипсов и гипербол полуфокусное расстояние иногда называют линейной эксцентриситетом.
In the case of ellipses and hyperbolas the half focal separation is sometimes called the linear eccentricity.
Гиперболы
Эксцентриситет гиперболы может быть любым действительным числом, большим 1, без верхнего ограничения. Эксцентриситет прямоугольной гиперболы равен √2.
The eccentricity of a hyperbola can be any real number greater than 1, with no upper bound. The eccentricity of a rectangular hyperbola is .
Квадрики
Эксцентриситетом трехмерной квадрики является эксцентриситет выбранного сечения этой квадрики. Например, для триаксиального эллипсоида меридиональная эксцентричность – это эксцентриситет эллипса, образованного сечением, содержащим самую длинную и самую короткую оси (одна из которых является полярной осью), а экваториальная эксцентричность – это эксцентриситет эллипса, образованного сечением, проходящим через центр и перпендикулярным полярной оси (то есть в экваториальной плоскости). Однако конические сечения могут встречаться и на поверхностях более высокого порядка (см. рисунок).
The eccentricity of a three dimensional quadric is the eccentricity of a designated section of it. For example, on a triaxial ellipsoid, the meridional eccentricity is that of the ellipse formed by a section containing both the longest and the shortest axes (one of which will be the polar axis), and the equatorial eccentricity is the eccentricity of the ellipse formed by a section through the centre, perpendicular to the polar axis (i. e. in the equatorial plane). But: conic sections may occur on surfaces of higher order, too (see image).
Небесная механика
В небесной механике для связанных орбит в сферическом потенциале приведенное выше определение неформально обобщается. Когда расстояние в апоцентре близко к расстоянию в перицентре, говорят, что орбита имеет низкую эксцентриситет; когда они сильно различаются, орбита считается эксцентричной или имеющей эксцентриситет, близкий к единице. Это определение совпадает с математическим определением эксцентриситета для эллипсов в кеплеровских потенциалах.
In celestial mechanics, for bound orbits in a spherical potential, the definition above is informally generalized. When the apocenter distance is close to the pericenter distance, the orbit is said to have low eccentricity; when they are very different, the orbit is said be eccentric or having eccentricity near unity. This definition coincides with the mathematical definition of eccentricity for ellipses, in Keplerian, i. e., potentials.