Введение
В математике, пространство присоединения (или прикрепляющее пространство) — распространённая конструкция в топологии, при которой одно топологическое пространство прикрепляется или "приклеивается" к другому. В частности, пусть X и Y — топологические пространства, а A — подпространство Y. Пусть f : A → X — непрерывное отображение (называемое прикрепляющим отображением). Пространство присоединения X ∪f Y (иногда также записывается как X +f Y) формируется путем взятия непересекающегося объединения X и Y и отождествления a с f(a) для всех a из A. Формально,
где отношение эквивалентности ~ порождается условием a ~ f(a) для всех a из A, а факторпространство наделяется топологией факторпространства. Как множество, X ∪f Y состоит из непересекающегося объединения X и (Y − A). Однако топология задаётся конструкцией факторпространства. Интуитивно можно представить, что Y приклеивается к X посредством отображения f.
Примеры
Общий пример присоединительного пространства возникает, когда Y — замкнутый n-шар (или ячейка), а A — граница шара, (n-1)-сфера. Индуктивное присоединение ячеек вдоль их сферических границ к этому пространству дает пример CW-комплекса. Присоединительные пространства также используются для определения связных сумм многообразий. Здесь сначала удаляют открытые шары из X и Y, прежде чем присоединять границы удаленных шаров вдоль карты присоединения. Если A — пространство с одной точкой, то присоединение является клиновой суммой X и Y. Если X — пространство с одной точкой, то присоединение является факторпространством Y/A.
Свойства
Непрерывные отображения h : X ∪f Y → Z находятся во взаимно однозначном соответствии с парами непрерывных отображений hX : X → Z и hY : Y → Z, удовлетворяющих условию hX(f(a)) = hY(a) для всех a из A. В случае, когда A является замкнутым подпространством Y, можно показать, что отображение X → X ∪f Y является замкнутым вложением, а (Y − A) → X ∪f Y – открытым вложением.
Категорическое описание
Прикрепляющая конструкция является примером копроизведения с выталкиванием в категории топологических пространств. То есть, пространство присоединения универсально относительно следующей коммутативной диаграммы:
Здесь i — карта включения, а ΦX, ΦY — отображения, полученные композицией факторного отображения с каноническими инъекциями в дизъюнктное объединение X и Y. Можно построить более общее копроизведение с выталкиванием, заменив i произвольным непрерывным отображением — конструкция аналогична. И наоборот, если f также является включением, то прикрепляющая конструкция заключается в простом склеивании X и Y вдоль их общего подпространства.