Введение
В математике, группа характеров — это группа представлений группы функциями со значениями в комплексных числах. Эти функции можно рассматривать как одномерные матричные представления и, следовательно, являются частными случаями характеров группы, возникающими в смежной области теории характеров. Когда группа представлена матрицами, функция, определяемая как след этих матриц, называется характером; однако, эти следы, как правило, не образуют группу. Некоторые важные свойства этих одномерных характеров применимы к характерам в общем случае: характеры инвариантны относительно классов сопряженности. Характеры неприводимых представлений ортогональны. Основное значение группы характеров для конечных абелевых групп заключается в теории чисел, где она используется для построения символов Дирихле. Группа характеров циклической группы также появляется в теории дискретного преобразования Фурье. Для локально компактных абелевых групп группа характеров (при условии непрерывности) играет центральную роль в анализе Фурье.
Characters are invariant on conjugacy classes. The characters of irreducible representations are orthogonal. The primary importance of the character group for finite abelian groups is in number theory, where it is used to construct Dirichlet characters. The character group of the cyclic group also appears in the theory of the discrete Fourier transform. For locally compact abelian groups, the character group (with an assumption of continuity) is central to Fourier analysis.
Предварительные
Пусть G — абелева группа. Функция, отображающая группу в ненулевые комплексные числа, называется характером группы G, если она является гомоморфизмом группы из G в C*, то есть, если f(xy) = f(x)f(y) для всех x, y ∈ G. Если f — характер конечной группы G, то каждое значение функции f(g) является корнем из единицы, поскольку для каждого g существует элемент h ∈ G такой, что f(hgh⁻¹) = f(g), и, следовательно, f(g) является корнем из единицы. Каждый характер f постоянен на классах сопряженности G, то есть f(hgh⁻¹) = f(g). По этой причине характер иногда называют классовой функцией. Конечная абелева группа порядка n имеет ровно n различных характеров. Они обозначаются f₁, …, fₙ. Функция f₁ является тривиальным представлением, которое задается выражением f₁(g) = 1 для всех g ∈ G. Она называется главным характером G; остальные называются неглавными характерами.
If is a character of a finite group , then each function value is a root of unity, since for each there exists such that , and hence
Each character f is a constant on conjugacy classes of G, that is, f(hgh−1) = f(g). For this reason, a character is sometimes called a class function. A finite abelian group of order n has exactly n distinct characters. These are denoted by f1, , fn. The function f1 is the trivial representation, which is given by for all It is called the principal character of G; the others are called the non principal characters.
Определение
Если G — абелева группа, то множество характеров f<sub>k</sub> образует абелеву группу относительно поточечного умножения. То есть, произведение характеров f<sub>k</sub> и f<sub>l</sub> определяется как (f<sub>k</sub>f<sub>l</sub>)(g) = f<sub>k</sub>(g)f<sub>l</sub>(g) для всех g ∈ G. Эта группа называется группой характеров группы G и иногда обозначается как Ĝ. Нейтральным элементом в Ĝ является главный характер f<sub>1</sub>, а обратным к характеру f<sub>k</sub> является его обратный 1/f<sub>k</sub>. Если G конечно порядка n, то Ĝ также имеет порядок n. В этом случае, поскольку f<sub>k</sub>(g) = f<sub>k</sub>(ḡ) для всех g ∈ G, обратный к характеру равен комплексно сопряженному.
Альтернативное определение
Существует другое определение группы символов, в котором в качестве цели используется , а не просто . Это полезно при изучении комплексных торов, поскольку группа символов решетки в комплексномторе канонически изоморфна двойственному тору посредством теоремы Аппеля — Гумберта. То есть, мы можем выразить явные элементы в группе символов следующим образом: вспомним, что элементы в могут быть выражены как для . Если мы рассматриваем решетку как подгруппу лежащего в основе вещественного векторного пространства , то гомоморфизм можно разложить как отображение. Это следует из элементарных свойств гомоморфизмов. Отметим, что это дает нам требуемую факторизацию. Поскольку для любой абелевой группы , мы имеем, а после композиции со сложной экспонентой получаем, что, что и является ожидаемым результатом.
Окончательно сгенерированные абелевы группы
Поскольку каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна, группа символов может быть легко вычислена во всех конечно порожденных случаях. Из универсальных свойств и изоморфизма между конечными произведениями и копроизведениями, группы символов изоморфны к для первого случая, это изоморфно к , а второй случай вычисляется путем рассмотрения отображений, которые отправляют образующий в различные степени корней из единицы порядка .