Введение

Обобщение тангенциального пространства многообразия на случай определенных пространств.

В геометрии тангенциальный конус является обобщением понятия тангенциального пространства многообразия на случай пространств, содержащих сингулярности.

Определения в нелинейном анализе

В нелинейном анализе существует множество определений тангентного конуса, включая смежный конус, конус Булигана и тангентный конус Кларка. Эти три конуса совпадают для выпуклого множества, но могут различаться для более общих множеств.

Конус Кларка

Пусть будет непустым замкнутым подмножеством банахова пространства. Тангенциальный конус Кларка к в точке , обозначаемый , состоит из всех векторов , таких что для любой последовательности, стремящейся к нулю, и любой последовательности, стремящейся к , существует последовательность, стремящаяся к , такая что для всех выполняется .

Тангенциальный конус Кларка всегда является подмножеством соответствующего контингентного конуса (и совпадает с ним, когда рассматриваемое множество выпукло). Он обладает важным свойством – быть замкнутым выпуклым конусом.

Определение в выпуклой геометрии

Пусть K — замкнутое выпуклое подмножество вещественного векторного пространства V, а ∂K — граница K. Твердый тангенциальный конус к K в точке x ∈ ∂K — это замыкание конуса, образованного всеми полупрямыми (или лучами), исходящими из x и пересекающими K по крайней мере в одной точке y, отличной от x. Это выпуклый конус в V, который также можно определить как пересечение замкнутых полупространств V, содержащих K и ограниченных поддерживающими гиперплоскостями K в точке x. Граница TK твердого тангенциального конуса является тангенциальным конусом к K и ∂K в точке x. Если это аффинное подпространство V, то точка x называется гладкой точкой ∂K, и говорят, что ∂K дифференцируема в x, а TK — это обычное касательное пространство к ∂K в точке x.