Введение
В математике, комплексный векторный расслоение — это векторное расслоение, волокна которого являются комплексными векторными пространствами. Любое комплексное векторное расслоение можно рассматривать как вещественное векторное расслоение посредством ограничения скаляров. Обратно, любое вещественное векторное расслоение E можно расширить до комплексного векторного расслоения, комплексификация которого имеет волокна Ex ⊗R C.
whose fibers are Ex ⊗R C.
Any complex vector bundle over a paracompact space admits a hermitian metric. The basic invariant of a complex vector bundle is a Chern class. A complex vector bundle is canonically oriented; in particular, one can take its Euler class. A complex vector bundle is a holomorphic vector bundle if X is a complex manifold and if the local trivializations are biholomorphic.
Любое комплексное векторное расслоение над паракомпактным пространством допускает эрмитову метрику. Основным инвариантом комплексного векторного расслоения является класс Черна. Комплексное векторное расслоение канонически ориентируемо; в частности, можно взять его класс Эйлера. Комплексное векторное расслоение является голоморфным векторным расслоением, если X является комплексным многообразием и если локальные тривиализации биголоморфны.
whose fibers are Ex ⊗R C.
Any complex vector bundle over a paracompact space admits a hermitian metric. The basic invariant of a complex vector bundle is a Chern class. A complex vector bundle is canonically oriented; in particular, one can take its Euler class. A complex vector bundle is a holomorphic vector bundle if X is a complex manifold and if the local trivializations are biholomorphic.
Сложная структура
Комплексный векторный расслоение можно рассматривать как вещественное векторное расслоение с дополнительной структурой – комплексной структурой. По определению, комплексная структура – это отображение расслоения между вещественным векторным расслоением E и самим собой:
такое, что J действует как квадратный корень из i на волокнах: если – это отображение на уровне волокна, то как линейное отображение. Если E – комплексное векторное расслоение, то комплексную структуру J можно определить, положив равным скалярному умножению на i. И наоборот, если E – вещественное векторное расслоение с комплексной структурой J, то E можно превратить в комплексное векторное расслоение, задав: для любых вещественных чисел a, b и вещественного вектора v в волокне Ex,
Пример: Комплексная структура на касательном расслоении вещественного многообразия M обычно называется почти комплексной структурой. Теорема Ньюлендера и Ниренберга утверждает, что почти комплексная структура J является "интегрируемой" в том смысле, что она индуцируется структурой комплексного многообразия тогда и только тогда, когда обращается в нуль определенный тензор, включающий J.