Введение
Математический объект в когомологиях снопов. В математике инъективные снопы абелевых групп используются для построения разрешений, необходимых для определения когомологий снопов (и других производных функторов, таких как Ext-когомологии снопов). Существует также группа связанных понятий, применяемых к снопам: флабби (flasque на французском языке), тонкие, мягкие (mou на французском языке), ациклические. В истории развития теории они были введены до статьи Александра Гротендика 1957 года, опубликованной в журнале "Tohoku Mathematical Journal", в которой было показано, что понятия инъективного объекта в абелевой категории достаточно для построения теории. Другие классы снопов являются исторически более ранними понятиями. Абстрактная структура для определения когомологий и производных функторов не требует их использования. Однако в большинстве конкретных случаев разрешения с помощью ациклических снопов часто легче построить. Поэтому ациклические снопы используются в вычислительных целях, например, при построении спектральной последовательности Лерея.
In mathematics, injective sheaves of abelian groups are used to construct the resolutions needed to define sheaf cohomology (and other derived functors, such as sheaf Ext). There is a further group of related concepts applied to sheaves: flabby (flasque in French), fine, soft (mou in French), acyclic. In the history of the subject they were introduced before the 1957 "Tohoku paper" of Alexander Grothendieck, which showed that the abelian category notion of injective object sufficed to found the theory. The other classes of sheaves are historically older notions. The abstract framework for defining cohomology and derived functors does not need them. However, in most concrete situations, resolutions by acyclic sheaves are often easier to construct. Acyclic sheaves therefore serve for computational purposes, for example the Leray spectral sequence.
Ациклические сгустки
Ациклический пучок над X – это пучок, у которого все старшие группы когомологий равны нулю. Когомологические группы любого пучка могут быть вычислены по любому ациклическому разрешению (это известно как теорема Де Рама — Вейля).
Прекрасные снопы
Прекрасный сноп над X – это сноп, обладающий "разложениями на единицы"; точнее, для любого открытого покрытия пространства X можно найти семейство гомоморфизмов из снопа в себя, сумма которых равна 1, и каждый из которых равен 0 вне некоторого элемента этого открытого покрытия. Прекрасные снопы обычно используются только над паракомпактными пространствами Хаусдорфа X. Типичными примерами являются сноп зародышей непрерывных функций с вещественными значениями над таким пространством, или сноп гладких функций над гладным (паракомпактным) гаусдорфовым многообразием, или модули над этими снопами колец. Кроме того, прекрасные снопы над паракомпактными пространствами Хаусдорфа мягкие и ациклические. Разрешение снопа на гладком многообразии можно построить с помощью прекрасных снопов, используя разрешение Александра–Спаниера. В качестве примера рассмотрим вещественное многообразие X. Существует следующее разрешение постоянного снопа прекрасными снопами (гладких) дифференциальных форм:
Это разрешение, то есть точный комплекс снопов, основанный на лемме Пуанкаре. Таким образом, кохомология X с коэффициентами в может быть вычислена как кохомология комплекса глобально определенных дифференциальных форм:
Мягкие снопы
Мягкий пучок над X – это пучок, для которого любой сечение над любым замкнутым подмножеством X можно продолжить до глобального сечения. Мягкие пучки ацикличны над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами.