Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Пересечение тора и плоскости
Intersection of a torus and a plane
В геометрии круги Вильярсо (/v//iː//l//ɑr/'s//oʊ/) — это пара окружностей, образующихся при наклонном пересечении тора через его центр под особым углом. Для произвольной точки на торе можно провести четыре окружности. Одна лежит в плоскости, параллельной экваториальной плоскости тора, а другая — в плоскости, перпендикулярной ей (это аналогично линиям широты и долготы на Земле). Две другие — это круги Вильярсо. Они получаются как пересечение тора с плоскостью, проходящей через центр тора и касающейся его в двух антиподальных точках. Рассматривая все такие плоскости, можно получить два семейства окружностей на торе. Каждое из этих семейств состоит из непересекающихся окружностей, покрывающих каждую точку тора ровно один раз и, таким образом, образующих одномерную фолиацию тора. Круги Вильярсо названы в честь французского астронома и математика Ивона Вильярсо (1813–1883), который опубликовал работы о них в 1848 году.
In geometry, Villarceau circles (/v//iː//l//ɑr/'/s//oʊ/) are a pair of circles produced by cutting a torus obliquely through its center at a special angle. Given an arbitrary point on a torus, four circles can be drawn through it. One is in a plane parallel to the equatorial plane of the torus and another perpendicular to that plane (these are analogous to lines of latitude and longitude on the Earth). The other two are Villarceau circles. They are obtained as the intersection of the torus with a plane that passes through the center of the torus and touches it tangentially at two antipodal points. If one considers all these planes, one obtains two families of circles on the torus. Each of these families consists of disjoint circles that cover each point of the torus exactly once and thus forms a 1 dimensional foliation of the torus. The Villarceau circles are named after the French astronomer and mathematician Yvon Villarceau (1813–1883) who wrote about them in 1848.
Заполнение пространства и фибрация Хопфа
Торус играет центральную роль в фибрации Хопфа 3-сферы, S3, над обычной сферой, S2, в которой круги, S1, выступают в качестве волокон. При отображении 3-сферы в евклидово 3-пространство посредством стереографической проекции, прообраз окружности широты на S2 под действием отображения фибрации является тором, а сами волокна – кругами Вильярсо. Банхофф исследовал подобный торус с использованием компьютерной графики. Один из необычных фактов о кругах, составляющих фибрацию Хопфа, заключается в том, что каждый из них сцеплен со всеми остальными, не только с кругами в своем торе, но и с кругами, составляющими все торы, заполняющие все пространство; Бергер посвятил этому обсуждению и представил рисунок.
The torus plays a central role in the Hopf fibration of the 3 sphere, S3, over the ordinary sphere, S2, which has circles, S1, as fibers. When the 3 sphere is mapped to Euclidean 3 space by stereographic projection, the inverse image of a circle of latitude on S2 under the fiber map is a torus, and the fibers themselves are Villarceau circles. Banchoff has explored such a torus with computer graphics imagery. One of the unusual facts about the circles making up the Hopf fibration is that each links through all the others, not just through the circles in its own torus but through the circles making up all the tori filling all of space; Berger has a discussion and drawing.
Дополнительные свойства
Маннгейм (1903) показал, что круги Вильярсо пересекают все параллельные круговые поперечные сечения тора под одним и тем же углом, результат, который, по его словам, полковник Шельхер представил на конгрессе в 1891 году.
Mannheim (1903) showed that the Villarceau circles meet all of the parallel circular cross sections of the torus at the same angle, a result that he said a Colonel Schoelcher had presented at a congress in 1891.