Введение
Распределения Уайтмана в квантовой теории поля могут быть аналитически продолжены к аналитическим функциям в евклидовом пространстве, область определения которых ограничена упорядоченным множеством точек в евклидовом пространстве, не имеющих совпадающих точек. Эти функции называются функциями Швингера (в честь Джулиана Швингера) и являются вещественно-аналитическими, симметричными относительно перестановки аргументов (антисимметричными для фермионных полей), евклидово ковариантными и удовлетворяют свойству, известному как позитивность отражения. Свойства функций Швингера известны как аксиомы Остервальдера — Шрейдера (в честь Конрада Остервальдера и Роберта Шрейдера). Функции Швингера также называют евклидовыми корреляционными функциями.
In quantum field theory, the Wightman distributions can be analytically continued to analytic functions in Euclidean space with the domain restricted to the ordered set of points in Euclidean space with no coinciding points. These functions are called the Schwinger functions (named after Julian Schwinger) and they are real analytic, symmetric under the permutation of arguments (antisymmetric for fermionic fields), Euclidean covariant and satisfy a property known as reflection positivity. Properties of Schwinger functions are known as Osterwalder–Schrader axioms (named after Konrad Osterwalder and Robert Schrader). Schwinger functions are also referred to as Euclidean correlation functions.
Интуитивное понимание
Один из способов (формального) построения функций Швингера, удовлетворяющих вышеуказанным свойствам, — через интеграл по евклидовым траекториям. В частности, интегралы по евклидовым траекториям (формально) удовлетворяют условию отражательной позитивности. Пусть F — любой полиномиальный функционал поля φ, который зависит только от значения φ(x) в тех точках x, чьи координаты τ неотрицательны. Тогда, поскольку действие S является вещественным и может быть разделено на часть, зависящую только от φ на положительном полупространстве, и часть, зависящую только от φ на отрицательном полупространстве, и если S также инвариантно относительно комбинированного действия отражения и комплексного сопряжения всех полей, то указанная величина должна быть неотрицательной.
Since the action S is real and can be split into , which only depends on φ on the positive half space , and which only depends upon φ on the negative half space , and if S also happens to be invariant under the combined action of taking a reflection and complex conjugating all the fields, then the previous quantity has to be nonnegative.
Теорема Остервальдера и Шредера
Теорема Остервальдера — Шредера утверждает, что евклидовы функции Швингера, удовлетворяющие вышеуказанным аксиомам (E0) – (E4) и дополнительному свойству (E0'), называемому условием линейного роста, могут быть аналитически продолжены к лоренцевым распределениям Уайтмана, удовлетворяющим аксиомам Уайтмана и, следовательно, определяющим квантовую теорию поля.