Введение

Тип 2D конформной теории поля

В теоретической физике и математике модель Весса — Зумино — Виттена (WZW), также называемая моделью Весса — Зумино — Новикова — Виттена, является типом двухмерной конформной теории поля, названной в честь Юлиуса Весса, Бруно Зумино, Сергея Новикова и Эдварда Виттена. Модель WZW связана с группой Ли (или супергруппой), а её алгебра симметрии — аффинная алгебра Ли, построенная на основе соответствующей алгебры Ли (или супералгебры Ли). В расширенном смысле, название модели WZW иногда используется для любой конформной теории поля, алгебра симметрии которой является аффинной алгеброй Ли.

Геометрическая интерпретация термина WessZumino

Если $e_a$ – базисные векторы для алгебры Ли, то $f_{abc}$ – структурные константы алгебры Ли. Структурные константы полностью антисимметричны, и, следовательно, они определяют 3-форму на группе многообразии $G$. Таким образом, подынтегральное выражение выше является просто индуцированной формой гармонической 3-формы на шаре. Обозначая гармоническую 3-форму как $c$, а индуцированную форму как $f^*c$, получаем, что эта форма напрямую ведет к топологическому анализу WZ-члена. Геометрически этот член описывает кручение соответствующего многообразия. Наличие этого кручения обуславливает телепараллелизм многообразия и, следовательно, тривиализацию тензора кручения кривизны; и, как следствие, остановку потока перенормировки, инфракрасную фиксированную точку группы перенормировки, явление, называемое геометростазисом.

Другие теории, основанные на аффинных алгебрах Ли

Известные конформные теории поля, основанные на аффинных алгебрах Ли, не ограничиваются моделями WZW. Например, в случае аффинной алгебры Ли модели WZW, модульно инвариантные функции разделения тора подчиняются классификации ADE, где модель WZW описывает только серию A. Серия D соответствует модели WZW, а серия E не соответствует какой-либо модели WZW. Другой пример – модель. Эта модель основана на той же алгебре симметрии, что и модель WZW, с которой она связана вращением Вика. Однако, строго говоря, это не модель WZW, поскольку это не группа, а косое произведение.

Корреляционные функции

Если группа компактна, спектр модели WZW состоит из представлений с наивысшим весом, и все корреляционные функции могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей с помощью тождеств Уорда. Если поверхность Римана является сферой Римана, корреляционные функции аффинных первичных полей удовлетворяют уравнениям Книжника — Замолодчикова. На поверхностях Римана более высокого рода корреляционные функции удовлетворяют уравнениям Книжника — Замолодчикова — Бернара, которые включают производные не только по координатам полей, но и по модулям поверхности.

Модели WZW с калибровкой

При заданной подгруппе Ли, калибровочная модель WZW (или модель косета) — это нелинейная сигма-модель, пространством целей которой является факторпространство для сопряженного действия на . Эта калибровочная модель WZW является конформной теорией поля, алгебра симметрии которой является фактор-алгеброй двух аффинных алгебр Ли моделей WZW для и , а центральный заряд равен разности их центральных зарядов.

Приложения

Модель WZW, группа Ли которой является универсальным накрытием группы, была использована Хуаном Малдасеной и Хироси Оогури для описания бозонной теории струн на трехмерном пространстве анти-де Ситтера. Канонически нормированная модель WZW имеет интерпретацию в теории струн как двумерная евклидова черная дыра Виттена. Та же модель также описывает некоторые двумерные статистические системы в критической точке, такие как критическая антиферромагнитная модель Потса.