Апотема многоугольника: определение, свойства и значение. Линия от центра к середине стороны – ключ к вычислениям площади и периметра правильных многоугольников.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Сегмент от центра многоугольника до середины одной из его сторон.
Segment from the center of a polygon to the midpoint of one of its sides
Апотем (иногда сокращенно apo) правильного многоугольника — это отрезок, соединяющий центр многоугольника с серединой одной из его сторон. Эквивалентно, это перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на одну из его сторон. Слово "апотем" может также обозначать длину этого отрезка и происходит от древнегреческого ἀπόθεμα ("отложенное, хранимое"), образованного от ἀπό ("от, прочь") и θέμα ("то, что положено, заложено"), указывая на произвольную линию, записанную на чертеже. Апотемы существуют только у правильных многоугольников. Вследствие этого, все апотемы в одном многоугольнике равны.
The apothem (sometimes abbreviated as apo) of a regular polygon is a line segment from the center to the midpoint of one of its sides. Equivalently, it is the line drawn from the center of the polygon that is perpendicular to one of its sides. The word "apothem" can also refer to the length of that line segment and come from the ancient Greek ἀπόθεμα ("put away, put aside"), made of ἀπό ("off, away") and θέμα ("that which is laid down"), indicating a generic line written down. Regular polygons are the only polygons that have apothems. Because of this, all the apothems in a polygon will be congruent.
Свойства апотемов
Апотем a можно использовать для вычисления площади любого правильного n-угольника со стороной s по следующей формуле, которая также утверждает, что площадь равна апотему, умноженному на половину периметра, так как ns = p.
The apothem a can be used to find the area of any regular n sided polygon of side length s according to the following formula, which also states that the area is equal to the apothem multiplied by half the perimeter since ns = p.
Эту формулу можно вывести, разбив n-угольник на n равных между собой равнобедренных треугольников, и затем заметив, что апотема является высотой каждого треугольника, а площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту. Следующие выражения эквивалентны:
This formula can be derived by partitioning the n sided polygon into n congruent isosceles triangles, and then noting that the apothem is the height of each triangle, and that the area of a triangle equals half the base times the height. The following formulations are all equivalent:
Апотема правильного многоугольника всегда является радиусом вписанной окружности. Она также представляет собой минимальное расстояние от любой стороны многоугольника до его центра. Это свойство также можно использовать для простого вывода формулы площади круга, поскольку при стремлении числа сторон к бесконечности площадь правильного многоугольника приближается к площади вписанной окружности радиуса r = a.
An apothem of a regular polygon will always be a radius of the inscribed circle. It is also the minimum distance between any side of the polygon and its center. This property can also be used to easily derive the formula for the area of a circle, because as the number of sides approaches infinity, the regular polygon's area approaches the area of the inscribed circle of radius r = a.