Коифлеты: дискретные вейвлеты для анализа сигналов и изображений. Симметричные функции, коэффициенты масштабирования и вейвлетов, применение в операторах Кальдерона-Зигмунда.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Кофлеты — это дискретные вейвлеты, разработанные Ингрид Даубешис по запросу Рональда Кофмана, с целью получения масштабирующих функций, обладающих исчезающими моментами. Вейвлет почти симметричен, его вейвлет-функции и масштабирующие функции имеют исчезающие моменты и широко используются в различных приложениях, связанных с операторами Кальдерона — Зигмунда.
Coiflets are discrete wavelets designed by Ingrid Daubechies, at the request of Ronald Coifman, to have scaling functions with vanishing moments. The wavelet is near symmetric, their wavelet functions have vanishing moments and scaling functions , and has been used in many applications using Calderón–Zygmund operators.
Коэффициенты кофлета
Как функция масштабирования (низкочастотный фильтр), так и функция вейвлета (высокочастотный фильтр) должны быть нормализованы с помощью коэффициента. Ниже приведены коэффициенты для функций масштабирования для C6–30. Коэффициенты вейвлета выводятся путем обращения порядка коэффициентов масштабирующей функции, а затем изменения знака каждого второго коэффициента (т. е. C6 вейвлет = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.544281086116, −1.205718913884, 0.477859456942, 0.102859456942}). Математически это выглядит как , где k — индекс коэффициента, B — коэффициент вейвлета, а C — коэффициент масштабирующей функции. N — индекс вейвлета, т. е. 6 для C6.
Both the scaling function (low pass filter) and the wavelet function (high pass filter) must be normalised by a factor Below are the coefficients for the scaling functions for C6–30. The wavelet coefficients are derived by reversing the order of the scaling function coefficients and then reversing the sign of every second one (i. e. C6 wavelet = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.544281086116, −1.205718913884, 0.477859456942, 0.102859456942}). Mathematically, this looks like , where k is the coefficient index, B is a wavelet coefficient, and C a scaling function coefficient. N is the wavelet index, i. e. 6 for C6. +Coiflets coefficients (normalized to have sum 2)kC6C12C18C24C30 −10 −0.0002999290456692 −9 0.0005071055047161 −8 0.0012619224228619 0.0030805734519904 −7 −0.0023044502875399 −0.0058821563280714 −6 −0.0053648373418441 −0.0103890503269406 −0.0143282246988201 −5 0.0110062534156628 0.0227249229665297 0.0331043666129858 −4 0.0231751934774337 0.0331671209583407 0.0377344771391261 0.0398380343959686 −3 −0.0586402759669371 −0.0930155289574539 −0.1149284838038540 −0.1299967565094460 −2 −0.1028594569415370 −0.0952791806220162 −0.0864415271204239 −0.0793053059248983 −0.0736051069489375 −1 0.4778594569415370 0.5460420930695330 0.5730066705472950 0.5873348100322010 0.5961918029174380 0 1.2057189138830700 1.1493647877137300 1.1225705137406600 1.1062529100791000 1.0950165427080700 1 0.5442810861169260 0.5897343873912380 0.6059671435456480 0.6143146193357710 0.6194005181568410 2 −0.1028594569415370 −0.1081712141834230 −0.1015402815097780 −0.0942254750477914 −0.0877346296564723 3 −0.0221405430584631 −0.0840529609215432 −0.1163925015231710 −0.1360762293560410 −0.1492888402656790 4 0.0334888203265590 0.0488681886423339 0.0556272739169390 0.0583893855505615 5 0.0079357672259240 0.0224584819240757 0.0354716628454062 0.0462091445541337 6 −0.0025784067122813 −0.0127392020220977 −0.0215126323101745 −0.0279425853727641 7 −0.0010190107982153 −0.0036409178311325 −0.0080020216899011 −0.0129534995030117 8 0.0015804102019152 0.0053053298270610 0.0095622335982613 9 0.0006593303475864 0.0017911878553906 0.0034387669687710 10 −0.0001003855491065 −0.0008330003901883 −0.0023498958688271 11 −0.0000489314685106 −0.0003676592334273 −0.0009016444801393 12 0.0000881604532320 0.0004268915950172 13 0.0000441656938246 0.0001984938227975 14 −0.0000046098383254 −0.0000582936877724 15 −0.0000025243583600 −0.0000300806359640 16 0.0000052336193200 17 0.0000029150058427 18 0.0000002296399300 19 −0.0000001358212135
+Коэффициенты Коифлетов (нормализованы так, чтобы их сумма была равна 2)
Both the scaling function (low pass filter) and the wavelet function (high pass filter) must be normalised by a factor Below are the coefficients for the scaling functions for C6–30. The wavelet coefficients are derived by reversing the order of the scaling function coefficients and then reversing the sign of every second one (i. e. C6 wavelet = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.544281086116, −1.205718913884, 0.477859456942, 0.102859456942}). Mathematically, this looks like , where k is the coefficient index, B is a wavelet coefficient, and C a scaling function coefficient. N is the wavelet index, i. e. 6 for C6. +Coiflets coefficients (normalized to have sum 2)kC6C12C18C24C30 −10 −0.0002999290456692 −9 0.0005071055047161 −8 0.0012619224228619 0.0030805734519904 −7 −0.0023044502875399 −0.0058821563280714 −6 −0.0053648373418441 −0.0103890503269406 −0.0143282246988201 −5 0.0110062534156628 0.0227249229665297 0.0331043666129858 −4 0.0231751934774337 0.0331671209583407 0.0377344771391261 0.0398380343959686 −3 −0.0586402759669371 −0.0930155289574539 −0.1149284838038540 −0.1299967565094460 −2 −0.1028594569415370 −0.0952791806220162 −0.0864415271204239 −0.0793053059248983 −0.0736051069489375 −1 0.4778594569415370 0.5460420930695330 0.5730066705472950 0.5873348100322010 0.5961918029174380 0 1.2057189138830700 1.1493647877137300 1.1225705137406600 1.1062529100791000 1.0950165427080700 1 0.5442810861169260 0.5897343873912380 0.6059671435456480 0.6143146193357710 0.6194005181568410 2 −0.1028594569415370 −0.1081712141834230 −0.1015402815097780 −0.0942254750477914 −0.0877346296564723 3 −0.0221405430584631 −0.0840529609215432 −0.1163925015231710 −0.1360762293560410 −0.1492888402656790 4 0.0334888203265590 0.0488681886423339 0.0556272739169390 0.0583893855505615 5 0.0079357672259240 0.0224584819240757 0.0354716628454062 0.0462091445541337 6 −0.0025784067122813 −0.0127392020220977 −0.0215126323101745 −0.0279425853727641 7 −0.0010190107982153 −0.0036409178311325 −0.0080020216899011 −0.0129534995030117 8 0.0015804102019152 0.0053053298270610 0.0095622335982613 9 0.0006593303475864 0.0017911878553906 0.0034387669687710 10 −0.0001003855491065 −0.0008330003901883 −0.0023498958688271 11 −0.0000489314685106 −0.0003676592334273 −0.0009016444801393 12 0.0000881604532320 0.0004268915950172 13 0.0000441656938246 0.0001984938227975 14 −0.0000046098383254 −0.0000582936877724 15 −0.0000025243583600 −0.0000300806359640 16 0.0000052336193200 17 0.0000029150058427 18 0.0000002296399300 19 −0.0000001358212135
Both the scaling function (low pass filter) and the wavelet function (high pass filter) must be normalised by a factor Below are the coefficients for the scaling functions for C6–30. The wavelet coefficients are derived by reversing the order of the scaling function coefficients and then reversing the sign of every second one (i. e. C6 wavelet = {−0.022140543057, 0.102859456942, 0.544281086116, −1.205718913884, 0.477859456942, 0.102859456942}). Mathematically, this looks like , where k is the coefficient index, B is a wavelet coefficient, and C a scaling function coefficient. N is the wavelet index, i. e. 6 for C6. +Coiflets coefficients (normalized to have sum 2)kC6C12C18C24C30 −10 −0.0002999290456692 −9 0.0005071055047161 −8 0.0012619224228619 0.0030805734519904 −7 −0.0023044502875399 −0.0058821563280714 −6 −0.0053648373418441 −0.0103890503269406 −0.0143282246988201 −5 0.0110062534156628 0.0227249229665297 0.0331043666129858 −4 0.0231751934774337 0.0331671209583407 0.0377344771391261 0.0398380343959686 −3 −0.0586402759669371 −0.0930155289574539 −0.1149284838038540 −0.1299967565094460 −2 −0.1028594569415370 −0.0952791806220162 −0.0864415271204239 −0.0793053059248983 −0.0736051069489375 −1 0.4778594569415370 0.5460420930695330 0.5730066705472950 0.5873348100322010 0.5961918029174380 0 1.2057189138830700 1.1493647877137300 1.1225705137406600 1.1062529100791000 1.0950165427080700 1 0.5442810861169260 0.5897343873912380 0.6059671435456480 0.6143146193357710 0.6194005181568410 2 −0.1028594569415370 −0.1081712141834230 −0.1015402815097780 −0.0942254750477914 −0.0877346296564723 3 −0.0221405430584631 −0.0840529609215432 −0.1163925015231710 −0.1360762293560410 −0.1492888402656790 4 0.0334888203265590 0.0488681886423339 0.0556272739169390 0.0583893855505615 5 0.0079357672259240 0.0224584819240757 0.0354716628454062 0.0462091445541337 6 −0.0025784067122813 −0.0127392020220977 −0.0215126323101745 −0.0279425853727641 7 −0.0010190107982153 −0.0036409178311325 −0.0080020216899011 −0.0129534995030117 8 0.0015804102019152 0.0053053298270610 0.0095622335982613 9 0.0006593303475864 0.0017911878553906 0.0034387669687710 10 −0.0001003855491065 −0.0008330003901883 −0.0023498958688271 11 −0.0000489314685106 −0.0003676592334273 −0.0009016444801393 12 0.0000881604532320 0.0004268915950172 13 0.0000441656938246 0.0001984938227975 14 −0.0000046098383254 −0.0000582936877724 15 −0.0000025243583600 −0.0000300806359640 16 0.0000052336193200 17 0.0000029150058427 18 0.0000002296399300 19 −0.0000001358212135
Функция MATLAB
F = coifwavf(W) возвращает масштабирующий фильтр, соответствующий вейвлету Койфле, заданному строкой W, где W = "coifN". Допустимые значения N — 1, 2, 3, 4 или 5.
F = coifwavf(W) returns the scaling filter associated with the Coiflet wavelet specified by the string W where W = "coifN". Possible values for N are 1, 2, 3, 4, or 5.