Введение

Алгебраическая структура с "удобными" свойствами двойственности

В математике, особенно в областях теории представлений и теории модулей, алгебра Фробениуса — это конечномерная унитальная ассоциативная алгебра со специальным типом билинейной формы, которая обеспечивает алгебрам особенно удобные теории двойственности. Изучение алгебр Фробениуса началось в 1930-х годах благодаря работам Ричарда Брауэра и Сесила Несбитта, а название они получили в честь Георга Фробениуса. Тадаси Накаяма заложил основы богатой теории двойственности, а Жан Диодонне использовал эти результаты для характеризации алгебр Фробениуса. Алгебры Фробениуса были обобщены до квази-Фробениусовых колец, то есть ноетерианских колец, правое регулярное представление которых инъективно. В последнее время интерес к алгебрам Фробениуса возродился благодаря связи с топологической квантовой теорией поля.

Определение

Определенная на поле k конечномерная, унитальная, ассоциативная алгебра A называется алгеброй Фробениуса, если она снабжена вырожденной двулинейной формой σ: A × A → k, удовлетворяющей следующему уравнению: 1 = σ(a·b, c) = σ(a, b·c). Эта двулинейная форма называется формой Фробениуса алгебры. Эквивалентно, алгебру A можно снабдить линейным функционалом λ: A → k таким образом, чтобы ядро λ не содержало нетривиального левого идеала A. Алгебра Фробениуса называется симметричной, если σ симметрична, или, что эквивалентно, λ удовлетворяет условию 1 = λ(a·b) = λ(b·a). Существует также другое, в основном несвязанное понятие симметричной алгебры векторного пространства.

Автоморфизм Накаямы

Для алгебры Фробена A с σ, как указано выше, автоморфизм ν алгебры A, такой что 1 = σ(a, b) = σ(ν(b), a), является автоморфизмом Накаямы, ассоциированным с A и σ.

Примеры

Любая матричная алгебра, определенная над полем k, является алгеброй Фробена с формой Фробена σ(a,b) = tr(a·b), где tr обозначает след. Любая конечномерная унитальная ассоциативная алгебра A имеет естественный гомоморфизм в свое собственное кольцо эндоморфизмов End(A). На A можно определить билинейную форму в смысле предыдущего примера. Если эта билинейная форма невырожденная, то она наделяет A структурой алгебры Фробена. Каждое групповое кольцо k[G] конечной группы G над полем k является симметричной алгеброй Фробена, с формой Фробена σ(a,b), заданной коэффициентом элемента единицы в a·b. Для поля k четырехмерная алгебра k[x,y]/(x², y²) является алгеброй Фробена. Это следует из характеризации коммутативных локальных колец Фробена, приведенной ниже, поскольку это кольцо является локальным кольцом с максимальным идеалом, порожденным x и y, и единственным минимальным идеалом, порожденным xy. Для поля k трехмерная алгебра k[x,y]/(x, y)² не является алгеброй Фробена. Гомоморфизм A из xA в A, индуцированный отображением x на y, нельзя расширить до гомоморфизма A из A в A, что показывает, что кольцо не является самоинъективным, а следовательно, не является фробениусовым. Любая конечномерная алгебра Хопфа, согласно теореме Ларсона-Свидлера 1969 года о модулях и интегралах Хопфа.

Свойства

Прямое произведение и тензорное произведение алгебр Фробена являются алгебрами Фробена. Конечная размерная коммутативная локальная алгебра над полем является алгеброй Фробена тогда и только тогда, когда правый регулярный модуль инъективен, тогда и только тогда, когда алгебра имеет единственный минимальный идеал. Коммутативные локальные алгебры Фробена – это точно локальные кольца Горенштейна нулевой размерности, содержащие своё поле вычетов и являющиеся конечномерными над ним. Алгебры Фробена являются квази-Фробеновыми кольцами, и в частности, они левые и правые артиновы, а также левые и правые самоинъективные. Для поля k конечная размерная, унитальная, ассоциативная алгебра является алгеброй Фробена тогда и только тогда, когда инъективный правый A-модуль Homk(A, k) изоморфен правому регулярному представлению A. Для бесконечного поля k конечномерная, унитальная, ассоциативная k-алгебра является алгеброй Фробена, если она имеет лишь конечное число минимальных правых идеалов. Если F – конечномерное расширение поля k, то конечномерная F-алгебра естественным образом является конечномерной k-алгеброй посредством ограничения скаляров и является F-алгеброй Фробена тогда и только тогда, когда она является k-алгеброй Фробена. Иными словами, свойство Фробена не зависит от поля, пока алгебра остаётся конечномерной. Аналогично, если F – конечномерное расширение поля k, то каждая k-алгебра A естественным образом порождает F-алгебру F ⊗k A, и A является k-алгеброй Фробена тогда и только тогда, когда F ⊗k A является F-алгеброй Фробена. Среди конечномерных, унитальных, ассоциативных алгебр, чьё правое регулярное представление инъективно, алгебры Фробена A – это именно те, чьи простые модули M имеют ту же размерность, что и их A-дуалы, HomA(M, A). Среди этих алгебр дуалы простых модулей всегда просты. Конечномерная би-Фробенова алгебра или строгая двойная Фробенова алгебра – это k-векторное пространство A с двумя структурами умножения как унитальные алгебры Фробена (A, •, 1) и (A, , ): должны существовать мультипликативные гомоморфизмы и из A в k, причём и невырожденные, и k-изоморфизм S из A на себя, являющийся антиавтоморфизмом для обеих структур, такой что . Это имеет место тогда и только тогда, когда A является конечномерной алгеброй Хопфа над k, а S – её антипод. Групповая алгебра конечной группы является примером.

Приложения

Алгебры Фробениуса первоначально изучались в рамках исследования теории представлений конечных групп и внесли вклад в изучение теории чисел, алгебраической геометрии и комбинаторики. Они применялись для исследования алгебр Хопфа, теории кодирования и колец когомологий компактных ориентированных многообразий.