Введение
Наилучшая топология, обеспечивающая непрерывность некоторых функций. В общей топологии и смежных областях математики, финальная топология (или коиндуцированная, сильная, колимитная или индуктивная топология) на множестве относительно семейства функций из топологических пространств в является наиболее тонкой топологией на , которая делает все эти функции непрерывными. Топология частного на частном пространстве является финальной топологией, относительно единственной сюръективной функции, а именно отображения частного. Топология дизъюнктного объединения является финальной топологией относительно отображений включения. Финальная топология также является топологией, которой снабжается каждая прямая граница в категории топологических пространств, и именно в контексте прямых границ финальная топология часто встречается. Топология согласована с некоторым набором подпространств тогда и только тогда, когда она является финальной топологией, индуцированной естественными включениями. Двойственным понятием является начальная топология, которая для заданного семейства функций из множества в топологические пространства является наиболее грубой топологией, обеспечивающей непрерывность этих функций.
In general topology and related areas of mathematics, the final topology (or coinduced, strong, colimit, or inductive topology) on a set with respect to a family of functions from topological spaces into is the finest topology on that makes all those functions continuous. The quotient topology on a quotient space is a final topology, with respect to a single surjective function, namely the quotient map. The disjoint union topology is the final topology with respect to the inclusion maps. The final topology is also the topology that every direct limit in the category of topological spaces is endowed with, and it is in the context of direct limits that the final topology often appears. A topology is coherent with some collection of subspaces if and only if it is the final topology induced by the natural inclusions. The dual notion is the initial topology, which for a given family of functions from a set into topological spaces is the coarsest topology on that makes those functions continuous.
Категорическое описание
На языке теории категорий построение конечной топологии можно описать следующим образом. Пусть F — функтор из дискретной категории D в категорию топологических пространств Top, который выбирает пространства X_i для каждого i ∈ D. Пусть Δ — диагональный функтор из Top в категорию функторов Top^D (этот функтор отображает каждое пространство X в постоянный функтор, сопоставляющий каждому элементу D пространство X). Тогда категория запятых (comma category) (F Δ)^op — это категория коконов из F, то есть объекты в ней — это пары (X, {f_i}), где {f_i} — семейство непрерывных отображений из X в X_i. Если U — забывчивый функтор из Top в Set, а Δ' — диагональный функтор из Set в Set^D, то категория запятых (U Δ')^op — это категория всех коконов из D. Построение конечной топологии можно тогда описать как функтор из (F Δ)^op в Top. Этот функтор левосопряжён соответствующему забывчивому функтору.