Введение
В геометрии и линейной алгебре, картезианский тензор использует ортонормальный базис для представления тензора в евклидовом пространстве в виде компонент. Переход от компонент тензора, выраженных в одном таком базисе, к другому осуществляется посредством ортогонального преобразования. Наиболее распространёнными системами координат являются двумерная и трёхмерная декартова система координат. Картезианские тензоры могут применяться к любому евклидову пространству, или, более точно, к любому конечномерному векторному пространству над полем вещественных чисел, снабжённому скалярным произведением. Применение картезианских тензоров встречается в физике и инженерии, например, при использовании тензора напряжений Коши и тензора инерции в динамике твёрдого тела. В некоторых случаях удобны или даже необходимы общие криволинейные координаты, как, например, в механике сплошных сред при больших деформациях или в общей теории относительности. Хотя для некоторых таких систем координат можно найти ортонормальные базисы (например, касательные к сферическим координатам), картезианские тензоры могут значительно упростить задачи, в которых достаточно вращений прямолинейных координатных осей. Преобразование является пассивным, поскольку изменяются координаты, а не физическая система.
Трансформации декартовых тензоров (любое число измерений)
Тензоры определяются как величины, которые преобразуются определенным образом при линейных преобразованиях координат.
Векторный и тензорный исчисления
Следующие формулы столь просты лишь в декартовых координатах — в общем случае, в криволинейных координатах присутствуют множители, связанные с метрикой и ее определителем — подробнее см. раздел о тензорах в криволинейных координатах для более общего анализа.
История
Диадические тензоры исторически были первым подходом к представлению тензоров второго ранга, подобно тому, как триадические тензоры использовались для тензоров третьего ранга, и так далее. Картезианские тензоры используют тензорную индексную нотацию, где вопрос о ко- и контравариантности может быть опущен и часто игнорируется, поскольку изменение индексов не влияет на значения компонент.