Введение

В математике, pro p-группа (для некоторого простого числа p) — это проконечная группа, такая что для любой открытой нормальной подгруппы факторгруппа является p-группой. Обратите внимание, что поскольку проконечные группы компактны, открытые подгруппы являются точно закрытыми подгруппами конечного индекса, так что дискретная факторгруппа всегда конечна. Альтернативно, pro p-группу можно определить как обратный предел обратной системы дискретных конечных p-групп. Наиболее хорошо изученным (и исторически важным) классом pro p-групп являются p-адические аналитические группы: группы, обладающие структурой аналитического многообразия над ℚₚ, при котором групповое умножение и взятие обратного являются аналитическими функциями. Работа Любоцкого и Манна, в сочетании с решением Мишелем Лазардом пятой проблемы Гильберта над p-адическими числами, показывает, что pro p-группа является p-адической аналитической тогда и только тогда, когда она имеет конечный ранг, то есть существует положительное целое число n, такое что любая замкнутая подгруппа имеет топологическое образующее множество, содержащее не более чем n элементов. В более общем виде было показано, что конечно порожденная проконечная группа является компактной p-адической группой Ли тогда и только тогда, когда она имеет открытую подгруппу, которая является равномерно мощной pro p-группой. Теоремы о коклассе были доказаны в 1994 году А. Шалевым и независимо от него К. Р. Лидхэмом-Грином. Теорема D является одной из этих теорем и утверждает, что для любого простого числа p и любого положительного целого числа r существует лишь конечное число pro p-групп кокласса r. Этот результат о конечности является фундаментальным для классификации конечных p-групп посредством ориентированных графов кокласса.