Введение
Кохомологическая теория алгебр Ли
In mathematics, Lie algebra cohomology is a cohomology theory for Lie algebras. It was first introduced in 1929 by Élie Cartan to study the topology of Lie groups and homogeneous spaces by relating cohomological methods of Georges de Rham to properties of the Lie algebra. It was later extended by to coefficients in an arbitrary Lie module.
В математике, кохомология алгебры Ли — это теория кохомологии для алгебр Ли. Она была впервые введена в 1929 году Эли Картаном для изучения топологии групп Ли и однородных пространств, связывая кохомологические методы Жоржа де Рама со свойствами алгебры Ли. Позднее она была расширена на коэффициенты в произвольном Ли-модуле.
In mathematics, Lie algebra cohomology is a cohomology theory for Lie algebras. It was first introduced in 1929 by Élie Cartan to study the topology of Lie groups and homogeneous spaces by relating cohomological methods of Georges de Rham to properties of the Lie algebra. It was later extended by to coefficients in an arbitrary Lie module.
Мотивация
Если G – компактная просто соединенная группа Ли, то она определяется своей алгеброй Ли, поэтому должно быть возможно вычислить ее кохомологию из алгебры Ли. Это можно сделать следующим образом. Ее кохомология является кохомологией де Рама комплекса дифференциальных форм на G. Используя процесс усреднения, этот комплекс можно заменить комплексом левоинвариантных дифференциальных форм. Левоинвариантные формы, в свою очередь, определяются своими значениями в единице, так что пространство левоинвариантных дифференциальных форм можно отождествить с внешней алгеброй алгебры Ли, с подходящим дифференциалом. Конструкция этого дифференциала на внешней алгебре имеет смысл для любой алгебры Ли, поэтому она используется для определения кохомологии алгебры Ли для всех алгебр Ли. В более общем случае используется аналогичная конструкция для определения кохомологии алгебры Ли с коэффициентами в модуле. Если G – просто соединенная некомпактная группа Ли, то кохомология алгебры Ли ассоциированной алгебры Ли не обязательно воспроизводит кохомологию де Рама G. Причина этого заключается в том, что переход от комплекса всех дифференциальных форм к комплексу левоинвариантных дифференциальных форм использует процесс усреднения, который имеет смысл только для компактных групп.