Введение

В алгебраической геометрии Proj — это конструкция, аналогичная построению спектра кольца для аффинных схем, которая создает объекты, обладающие типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий. Эта конструкция, хотя и не является функториальной, является фундаментальным инструментом в теории схем. В данной статье все кольца предполагаются коммутативными и с единицей.

Proj как набор

Пусть R – коммутативное градуированное кольцо, где R = ⊕ᵢ Rᵢ – прямое суммирование, связанное с градуировкой. Несущественным идеалом R является идеал, состоящий из элементов положительной степени. Идеал называется однородным, если он порожден однородными элементами. Тогда, как множество, Hom(R, k) изоморфен R₀, где k – поле. Для краткости мы будем иногда писать R₀ вместо Hom(R, k).

Сгусток, связанный с классифицированным модулем

Основным свойством для указанной выше конструкции была возможность строить локализации для каждого простого идеала из . Это свойство также присуще любому градуированному модулю над , и поэтому, с некоторыми незначительными изменениями, предыдущий раздел строит для любого такого модуля сноп, обозначаемый , модулей над . Этот сноп квазикогерентен по построению. Если модуль порожден конечным числом элементов степени (например, кольцо многочленов или его однородное факторкольцо), то все квазикогерентные снопы над модулем возникают из градуированных модулей посредством этой конструкции. Соответствующий градуированный модуль не единственен.

Прож над аффинной линией

Если взять за базовое кольцо , то существует канонический проективный морфизм в аффинную прямую, чьи волокна являются эллиптическими кривыми, за исключением точек, где кривые вырождаются в узловые кривые. Таким образом, существует расслоение, которое также является гладким морфизмом схем (что можно проверить, используя якобианов критерий).

Проективные гиперповерхности и их разновидности

Проективная гиперповерхность является примером квинтики Ферма, которая также является многообразием Калаби-Яу. Помимо проективных гиперповерхностей, любая проективная разновидность, заданная системой однородных многочленов от переменных, может быть преобразована в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры, что даёт вложение проективных разновидностей в проективные схемы.

Взвешенное проективное пространство

Взвешенные проективные пространства могут быть построены с использованием кольца полиномов, переменные которого имеют нестандартные степени. Например, взвешенное проективное пространство соответствует рассмотрению факторкольца где переменные имеют вес 1, а переменная имеет вес 2.

Кольца с биградами

Строительство proj распространяется на биградуированные и мультиградуированные кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, заданы градуированные кольца со степенью каждого образующего. Тогда тензорное произведение этих алгебр над дает биградуированную алгебру, где элементы имеют вес , а элементы имеют вес . Далее, конструкция proj дает, что является произведением проективных схем. Существует вложение таких схем в проективное пространство, рассматривая полную градуированную алгебру, где элемент степени рассматривается как элемент степени . Это означает, что -я градуированная часть равна модулю. Кроме того, схема теперь снабжена биградуированными пучками, которые являются тензорным произведением пучков, где и – канонические проекции, возникающие из инъекций этих алгебр из диаграммы тензорного произведения коммутативных алгебр.

Глобальный проект

Обобщение конструкции Proj заменяет кольцо S на пучок алгебр и в результате дает схему, которую можно представить как фибрацию Proj'ов колец. Эта конструкция часто используется, например, для построения расслоений проективного пространства над базовой схемой.

Скручивающийся сноп

Если S обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что S является когерентным пучком и локально генерирует S над (то есть, при переходе к стеблю пучка S в точке x из X, который является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо, элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над и также порождают стебель как алгебру над ним), то можно осуществить дальнейшую конструкцию. Над каждым открытым аффинным множеством U, Proj S(U) несет обратимый пучок O(1), и сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки можно склеить так же, как описано выше; полученный пучок на также обозначается O(1) и выполняет примерно ту же функцию для , что и крутящийся пучок на Proj кольца.

Проектирование квазисвязного снопа

Пусть $\mathcal{F}$ будет квазикогерентной пучкой на схеме $X$. Пучок симметричных алгебр $\operatorname{Sym}(\mathcal{F})$ естественно является квазикогерентной пучкой градуированных $\mathcal{O}_X$-модулей, порожденных элементами степени 1. Полученная схема обозначается $\operatorname{Proj}(\mathcal{F})$. Если $\mathcal{F}$ конечного типа, то ее канонический морфизм $\operatorname{Proj}(\mathcal{F}) \to X$ является проективным морфизмом. Для любого $x \in X$, волокно вышеуказанного морфизма над $x$ является проективным пространством $\mathbb{P}(V_x^*)$, связанным с дуалом векторного пространства $V_x = \mathcal{F}_x$ над полем $k(x)$.

Если $\mathcal{E}$ является квазикогерентной пучкой градуированных $\mathcal{O}_X$-модулей, порожденных элементами степени 1, и такой, что $\mathcal{E}$ конечного типа, то $\operatorname{Proj}(\mathcal{E})$ является замкнутой подсхемой $X$ и, следовательно, проективной над $X$. Фактически, каждая замкнутая подсхема проективной схемы $X$ имеет такую форму.

Проективные космические пучки

В качестве частного случая, когда $\mathcal{E}$ локально свободен ранга $r$, мы получаем проективный расслоение $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ над $X$ относительной размерности $r-1$. Действительно, если мы возьмем открытое покрытие $X$ открытыми аффинными множествами $U_i$ такими, что при ограничении на каждое из них $\mathcal{E}$ является свободным над $A$, то

и, следовательно, $\mathbb{P}(\mathcal{E})$ является расслоением проективных пространств. Многие семейства многообразий могут быть построены как подмногообразия этих проективных расслоений, например, семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Подробности можно найти в основной статье.

Пример глобального проекта

Глобальный proj можно использовать для построения карандашей Лефшеца. Например, пусть и возьмем однородные многочлены степени k. Мы можем рассмотреть идеальный пучок и построить глобальный proj этого фактор-пучка алгебр. Это можно явно описать как проективный морфизм .