Введение

В алгебраической теории чисел различный идеал (иногда просто различный) определяется для измерения (возможного) недостатка двойственности в кольце целых чисел алгебраического числового поля K относительно следа поля. Он кодирует данные о разветвлении для простых идеалов кольца целых чисел. Введен Ричардом Дедекиндом в 1882 году.

Разделение

Относительный дифференциал кодирует данные о ветвлении расширения поля L / K. Простой идеал p из K ветвится в L, если факторизация p в L содержит простой элемент L в степени, большей 1: это происходит тогда и только тогда, когда p делит относительный дискриминант ΔL / K. Более точно, если

p = P1e(1) Pke(k)

является факторизацией p на простые идеалы L, то Pi делит относительный дифференциал δL / K тогда и только тогда, когда Pi ветвится, то есть, если и только если индекс ветвления e(i) больше 1. Точная степень, в которой ветвящийся простой элемент P делит δ, называется дифференциальным показателем P и равен e − 1, если P ветвится умеренно: то есть, когда P не делит e. В случае, когда P ветвится дико, дифференциальный показатель лежит в диапазоне от e до e + eνP(e) − 1. Дифференциальный показатель можно вычислить из порядков высших групп ветвления для расширений Галуа:

Локальные вычисления

Различие может быть определено для расширения локальных полей L / K. В этом случае можно считать расширение простым, порожденным примитивным элементом α, который также порождает степенную интегральную основу. Если f — минимальный полином для α, то различие порождается f'(α).