Введение
Математические операции умножения имеют несколько применений в музыке. Помимо применения к частотным соотношениям интервалов (например, простой интонации и двенадцатого корня из двух в равной темпераменте), он использовался и в других областях для двенадцатитонной техники и теории музыкальных множеств. Кроме того, кольцевая модуляция - это электрический аудиопроцесс, включающий умножение, которое используется для музыкального эффекта. Умножающая операция - это сопоставление, в котором аргумент умножается. Умножение возникло интуитивно в расширении интервала, включая вращение порядка ряда тонов, например, в музыке Белы Бартока и Альбана Берга. Ротация числа тона, Фунферрейхе или "пять серий" и Сибенеррейхе или "семь серий", была впервые описана Эрнстом Кренэком в Über neue Musik. Принстонские теоретики, включая Джеймса К. Рэндалла, Годфри Уинэма и Хьюберта С. Хоу, "были первыми, кто обсудил и принял их, не только в отношении серии из двенадцати тонов".
Умножение времени
Джозеф Шиллинджер описал операцию "множественного множения в полиномиальное время" (полиномиальное относится к любому ритму, состоящему из более чем одной продолжительности), примерно соответствующую вышеуказанному множению Питча. Тема, сведенная к последовательному ряду целых чисел, представляющих четверть, 8-ю или 16-ю ноты длительности каждой из нот темы, может быть умножена на себя или на ряд другой темы, чтобы получить согласованную и связанную вариацию. В частности, серии темы могут быть приведены в квадрат или в куб или увеличены до более высоких степеней, чтобы получить насыщение связанного материала.
Аффиновые преобразования
Герберт Эймерт описал то, что он назвал "восемью режимами" двенадцати тоновых рядов, все они являются зеркальными формами друг друга. Инверс получают с помощью горизонтального зеркала, ретроградное с помощью вертикального зеркала, ретроградное инверс с помощью как горизонтального, так и вертикального зеркала, а "цикл четвертых преобразований" или Quartverwandlung и "цикл пятых преобразований" или Quintverwandlung получают с помощью наклонного зеркала. С ретроградами этих преобразований и простым числом, есть восемь перестановок. Джозеф Шиллинджер охватил не только контрапунктические инверсные, ретроградные и ретроградные инверсные "операции умножения матриц в евклидовом векторном пространстве", но и их ритмические аналоги. Таким образом, он мог описать вариацию темы, используя те же самые шаги в том же порядке, но используя его исходные временные значения в ретроградном порядке. Он видел масштабы этой множительной вселенной за пределами простого отражения, включая транспозицию и вращение (возможно, с проекцией обратно к источнику), а также расширение, которое ранее было ограничено использованием измерения времени (через увеличение и уменьшение). Таким образом, он мог описать другую вариацию темы или даже базовую шкалу, умножив количество полушагов между каждой последовательной парой нот на какой-то фактор, возможно, нормализуя на октаву с помощью операции Modulo 12,
Z-отношение
Некоторые связанные с Z аккорды соединены M или IM (множение на 5 или умножение на 7), из-за идентичных записей для 1 и 5 на векторе APIC.