Введение
В алгебраической геометрии алгебраический разновидность или схема X является нормальной, если она нормальна в каждой точке, то есть местное кольцо в точке является интегрально закрытым доменом. Аффинный разновидность X (понимается, что она не редуцируется) нормальна, если и только если кольцо O ((X) регулярных функций на X является интегрально закрытым доменом. Разнообразие X в поле является нормальным, если и только если каждый конечный бирациональный морфизм от любого разнообразия Y к X является изоморфизмом. Нормальные сорта были введены в
Нормализация
Любая уменьшенная схема X имеет уникальную нормализацию: нормальная схема Y с интегральным бирациональным морфизмом Y → X. (Для X разнообразия по поле, морфизм Y → X конечен, что сильнее, чем "интегральный".) Нормализация схемы измерения 1 является регулярной, а нормализация схемы измерения 2 имеет только изолированные сингулярности. Нормализация обычно не используется для разрешения сингулярности для схем более высоких измерений. Для определения нормализации сначала предположим, что X является необратимой уменьшенной схемой X. Каждое аффинное открытое подмножество X имеет форму Spec R, где R - интегральная область. Напишите X как союз аффинных открытых подмножеств Spec Ai. Пусть Bi будет интегральным замком Ai в его поле дробей. Затем нормализация X определяется путем склеивания аффинных схем Spec Bi. Если начальная схема не является необратимой, то нормализация определяется как разрозненное соединение нормализаций необратимых компонентов.
Spec Bi. If the initial scheme is not irreducible, the normalization is defined to be the disjoint union of the normalizations of the irreducible components.
Нормализация вершины
Рассмотрим аффинную кривую с кустовой сингулярностью в начале. Его нормализация может быть дана картой, полученной из алгебраической карты
Нормализация осей в аффинной плоскости
Например, схема не является необратимой, поскольку она состоит из двух компонентов. Его нормализация дается схемой морфизма, полученной из двух карты долей.