Введение

Линейный оператор в математике
информация об операторе композиции ∘
В математике оператор композиции с символом является линейным оператором, определенным правилом

где ∘ обозначает композицию функций. Изучение операторов композиции охватывается категорией AMS 47B33.

В физике

В физике, и особенно в области динамических систем, оператор композиции обычно называют оператором Купмана (а его стремительный рост популярности иногда шутливо называют "Купманией"), в честь Бернарда Купмана. Он является левым сопряженным оператором переноса Фробениуса — Перрона.

В Борельском функциональном исчислении

Используя язык теории категорий, оператор композиции является обратным образом (pullback) в пространстве измеримых функций; он сопряжён оператору переноса, подобно тому, как обратный образ сопряжён прямому образу (pushforward); оператор композиции является функтором обратного образа. Поскольку рассматриваемая область — область функций Бореля, вышеописанное описывает оператор Купмана в его представлении в функциональном исчислении Бореля.

В голоморфном функциональном исчислении

Домен оператора композиции может быть определён более узко, как некоторое пространство Банаха, часто состоящее из голоморфных функций, например, пространство Харди или пространство Бергмана. В этом случае оператор композиции попадает в область действия некоторого функционального исчисления, такого как голоморфное функциональное исчисление. Интересные вопросы, возникающие при изучении операторов композиции, часто связаны с тем, как спектральные свойства оператора зависят от выбранного функционального пространства. Другие вопросы включают в себя, является ли оператор компактным или оператор класса следов; ответы обычно зависят от поведения функции на границе некоторой области. Если оператор переноса является оператором левого сдвига, то сопряжённый к нему оператор Купмана можно рассматривать как оператор правого сдвига. Подходящий базис, явно демонстрирующий сдвиг, часто можно найти среди ортогональных многочленов. Если эти многочлены ортогональны на вещественной прямой, то сдвиг задаётся оператором Якоби. Если же многочлены ортогональны на некоторой области комплексной плоскости (в частности, в пространстве Бергмана), то оператор Якоби заменяется оператором Гессенберга.

Приложения

В математике операторы композиции часто встречаются при изучении операторов сдвига, например, в теореме Берлинга — Лакса и разложении Вольда. Операторы сдвига можно изучать как одномерные спиновые решетки. Операторы композиции возникают в теории мер Александрова — Кларка. Собственное уравнение оператора композиции — это уравнение Шрёдера, а главная собственная функция часто называется функцией Шрёдера или функцией Кёнигса. Оператор композиции использовался в методах, основанных на данных, для динамических систем в контексте алгоритмов динамического разложения мод, которые аппроксимируют моды и собственные значения оператора композиции.