Введение
В алгебраической геометрии, ноэтерианская схема — это схема, допускающая конечное покрытие открытыми аффинными подмножествами, где каждое из них является ноэтерианским кольцом. В более общем случае, схема называется локально ноэтерианской, если она покрыта спектрами ноэтерианских колец. Таким образом, схема является ноэтерианской тогда и только тогда, когда она локально ноэтерианская и компактная. Как и в случае ноэтерианских колец, это понятие названо в честь Эмми Ноэтер. Можно показать, что в локально ноэтерианской схеме, если A — открытое аффинное подмножество, то A является ноэтерианским кольцом. В частности, схема является ноэтерианской тогда и только тогда, когда A является ноэтерианским кольцом. Пусть X — локально ноэтерианская схема. Тогда локальные кольца являются ноэтерианскими кольцами. Ноэтерианская схема является ноэтерианским топологическим пространством. Однако обратное неверно в общем случае; например, рассмотрим спектр неноэтерианского кольца оценки. Эти определения распространяются на формальные схемы.
Свойства и гипотезы Ноэтера
Наличие (локальной) ноэтерианской гипотезы для утверждения о схемах обычно значительно упрощает многие проблемы, поскольку она достаточно жестко фиксирует многие из их свойств.
Девиссаж
Одной из наиболее важных теорем структуры для ноэтерианских колец и ноэтерианских схем является теорема девиссажа. Эта теорема позволяет разложить рассуждения о когерентных пучках на индуктивные рассуждения. Это происходит потому, что для короткой точной последовательности когерентных пучков доказательство того, что один из пучков обладает некоторым свойством, эквивалентно доказательству того, что два других пучка обладают этим свойством. В частности, для фиксированного когерентного пучка и подпучка, доказательство того, что обладает некоторым свойством, можно свести к рассмотрению и . Поскольку этот процесс можно применить лишь конечное число раз нетривиальным образом, это делает возможным множество индуктивных рассуждений.
Количество неснижаемых компонентов
Каждая ноэтерианская схема может иметь лишь конечное число компонент.
Морфизмы из ноэтерианских схем являются квазикомпактными
Каждый морфизм из ноэтериевой схемы является квазикомпактным.
Гомологические свойства
Есть много замечательных гомологических свойств ноэтерианских схем.
Кохомология чеха и снопа
Чехская кохомология и кохомология пучков совпадают на аффинном открытом покрытии. Это позволяет вычислять кохомологию пучков, используя чешскую кохомологию для стандартного открытого покрытия.
Совместимость колимитов с кохомологией
При заданной прямой системе снопов абелевых групп на схеме Ноэтера, существует канонический изоморфизм, означающий, что функторы сохраняют прямые пределы и копроизведения.
Полученное непосредственное изображение
Пусть дан морфизм локально конечного типа в ноетерову схему и комплекс пучков с ограниченной когерентной когомологией, такой что пучки имеют собственную поддержку над , тогда производный прямой образ имеет ограниченную когерентную когомологию над , то есть является объектом в .
Примеры
Многие схемы, встречающиеся в естественной среде, являются ноэтерианскими.
Локально конечного типа над ноэтерианской основой
Другим классом примеров ноэтерианских схем являются семейства схем, у которых основание ноэтерианское и является конечного типа над . Это включает в себя множество примеров, таких как связные компоненты схемы Гильберта, то есть с фиксированным полиномом Гильберта. Это важно, поскольку это означает, что многие пространства модулей, встречающиеся в алгебраической геометрии, являются ноэтерианскими, такие как модули алгебраических кривых и модули стабильных векторных расслоений. Кроме того, это свойство можно использовать для доказательства того, что многие схемы, рассматриваемые в алгебраической геометрии, на самом деле являются ноэтерианскими.
Квазипроективные сорта
В частности, квазипроективные многообразия являются ноетерианскими схемами. Этот класс включает алгебраические кривые, эллиптические кривые, абелевы многообразия, схемы Калаби-Яу, многообразия Шимуры, поверхности K3 и кубические поверхности. По сути, все объекты из классической алгебраической геометрии попадают в этот класс примеров.
Бесконечно малые деформации ноэтерианских схем
В частности, бесконечно малые деформации ноэтерианских схем снова ноэтерианские. Например, для кривой , любая деформация также является ноэтерианской схемой. Башня таких деформаций может быть использована для построения формальных ноэтерианских схем.
Схемы на базах Adelic
Одним из примеров неноэтеровых колец является кольцо аделей для алгебраического числового поля. Для работы с такими кольцами рассматривается топология, что приводит к топологическим кольцам. Вейль и Александр Гротендик разработали понятие алгебраической геометрии над такими кольцами.
Кольца целых чисел с бесконечными расширениями
При заданном бесконечном расширении поля Галуа, например (путем присоединения всех корней из единицы), кольцо целых чисел является неноэтеровым кольцом размерности. Это противоречит интуиции, что конечномерные схемы обязательно ноэтеровы. Кроме того, этот пример мотивирует изучение схем над неноэтеровым основанием, то есть схем , как интересную и плодотворную область. Одним из частных случаев такого расширения является взятие максимального неразветвленного расширения и рассмотрение кольца целых чисел . Индуцированный морфизм формирует универсальное накрытие .
Многочленное кольцо с бесконечно большим количеством генераторов
Другой пример неноэтерова схемы конечной размерности (фактически, нулевой размерности) приводится следующим образом: рассмотрим фактор многочленного кольца с бесконечным числом образующих.