Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Внешняя звездчатая форма икосаэдра
Outermost stellation of the icosahedron
В геометрии полная или конечная звездчатая форма икосаэдра является наиболее внешней звездчатой формой икосаэдра и называется "полной" и "конечной", поскольку включает в себя все ячейки в диаграмме звездчатых форм икосаэдра. Это означает, что любые три пересекающиеся плоскости граней икосаэдрического ядра пересекаются либо в вершине этого многогранника, либо внутри него. Она была изучена Максом Брюкнером после открытия полиэдров Кеплера — Пуансо. Её можно рассматривать как нерегулярный, простой звёздчатый многогранник.
In geometry, the complete or final stellation of the icosahedron is the outermost stellation of the icosahedron, and is "complete" and "final" because it includes all of the cells in the icosahedron's stellation diagram. That is, every three intersecting face planes of the icosahedral core intersect either on a vertex of this polyhedron or inside of it. It was studied by Max Brückner after the discovery of Kepler–Poinsot polyhedron. It can be viewed as an irregular, simple, and star polyhedron.
Предыстория
Иоганн Кеплер в своем труде Harmonices Mundi применил процесс звездообразования, признав малый звездный додекаэдр и большой звездный додекаэдр регулярными многогранниками. Однако Луи Понсо в 1809 году заново открыл еще два: великий икосаэдр и большой додекаэдр. Августин Луи Коши в 1812 году доказал, что существует всего четыре регулярных звездных многогранника, известных как полиэдры Кеплера — Понсо. Далее теория звездообразования была расширена за пределы регулярных форм, и были определены десять звездообразований икосаэдра, включая полную звездообразование. Был опубликован список из двадцати форм звездообразований (двадцать два с учетом зеркальных отражений), также включающий полную звездообразование. В книге 1938 года "Пятьдесят девять икосаэдров" Г.С.М. Коксетер, П. дю Валь, Г.Т. Флатер и Дж.Ф. Петри представили набор правил звездообразования для правильного икосаэдра и систематически перечислили пятьдесят девять звездообразований, соответствующих этим правилам. Полная звездообразование упоминается в книге как восьмая. В книге Веннингера "Модели полиэдров" финальная звездообразование икосаэдра включена как 17-я модель звездного икосаэдра с индексным номером W42. В 1995 году Эндрю Хьюм назвал его в своей полиэдрической базе данных Netlib эхиднаэдром, по аналогии с эхидной, или колючим муравьедом – небольшим млекопитающим, покрытым жесткой шерстью и шипами, которое сворачивается в шар для защиты.
Johannes Kepler in his Harmonices Mundi applied the stellation process, recognizing the small stellated dodecahedron and great stellated dodecahedron as regular polyhedra. However, Louis Poinsot in 1809 rediscovered two more, the great icosahedron and great dodecahedron. This was proved by Augustin Louis Cauchy in 1812 that there are only four regular star polyhedrons, known as the Kepler–Poinsot polyhedron. extended the stellation theory beyond regular forms, and identified ten stellations of the icosahedron, including the complete stellation. published a list of twenty stellation forms (twenty two including reflective copies), also including the complete stellation. H. S. M. Coxeter, P. du Val, H. T. Flather and J. F. Petrie in their 1938 book The Fifty Nine Icosahedra stated a set of stellation rules for the regular icosahedron and gave a systematic enumeration of the fifty nine stellations which conform to those rules. The complete stellation is referenced as the eighth in the book. In Wenninger's book Polyhedron Models, the final stellation of the icosahedron is included as the 17th model of stellated icosahedra with index number W42. In 1995, Andrew Hume named it in his Netlib polyhedral database as the echidnahedron, after the echidna, or spiny anteater is a small mammal that is covered with coarse hair and spines and which curls up in a ball to protect itself.
Как звездочка
Звездчатая форма полиэдра расширяет грани полиэдра до бесконечных плоскостей и генерирует новый полиэдр, ограниченный этими плоскостями как гранями и пересечениями этих плоскостей как ребрами. Книга «Пятьдесят девять икосаэдров» перечисляет звездчатые формы правильного икосаэдра в соответствии с набором правил, предложенных Дж. К. П. Миллером, включая полную звездчатую форму. Символ Дю Валя для полной звездчатой формы — H, поскольку он включает в себя все ячейки на диаграмме звездчатой формы до и включая самый внешний слой "h".
The stellation of a polyhedron extends the faces of a polyhedron into infinite planes and generates a new polyhedron that is bounded by these planes as faces and the intersections of these planes as edges. The Fifty Nine Icosahedra enumerates the stellations of the regular icosahedron, according to a set of rules put forward by J. C. P. Miller, including the complete stellation. The Du Val symbol of the complete stellation is H, because it includes all cells in the stellation diagram up to and including the outermost "h" layer.
Как звездополиэдр
Полное созвездие также можно рассматривать как самопересекающийся звездный многогранник с 20 гранями, соответствующими 20 граням базового икосаэдра. Каждая грань представляет собой неправильный 9/4-звездный многоугольник, или эннеаграмму. Поскольку три грани сходятся в каждой вершине, у него 20 × 9 / 3 = 60 вершин (это самый внешний слой видимых вершин и формирует кончики "шипов") и 20 × 9 / 2 = 90 ребер (каждое ребро звездного многогранника включает и соединяет два из 180 видимых ребер). Рассматриваемое как звездный икосаэдр, полное созвездие является благородным многогранником, поскольку оно одновременно изоэдрично (транзитивно по граням) и изогонично (транзитивно по вершинам).
The complete stellation can also be seen as a self intersecting star polyhedron having 20 faces corresponding to the 20 faces of the underlying icosahedron. Each face is an irregular 9/4 star polygon, or enneagram. Since three faces meet at each vertex it has 20 × 9 / 3 = 60 vertices (these are the outermost layer of visible vertices and form the tips of the "spines") and 20 × 9 / 2 = 90 edges (each edge of the star polyhedron includes and connects two of the 180 visible edges). When regarded as a star icosahedron, the complete stellation is a noble polyhedron, because it is both isohedral (face transitive) and isogonal (vertex transitive).