Введение
В комбинаторике множество различий — это подмножество размера *k* группы *G* порядка *v* такое, что каждый неединичный элемент группы *G* может быть представлен в виде произведения элементов из *D* ровно *λ* способами. Множество различий *D* называется циклическим, абелевым, неабелевым и т.д., если группа *G* обладает соответствующим свойством. Множество различий с *λ* = 1 иногда называют планарным или простым. Если *G* — абелева группа, записанная в аддитивной нотации, то определяющим условием является то, что каждый ненулевой элемент *G* может быть записан как разность элементов из *D* ровно *λ* способами. Так и возник термин "множество различий".
Эквивалентные и изоморфные множества различий
Два множества различий в группе G₁ и в группе G₂ эквивалентны, если существует групповой изоморфизм φ между G₁ и G₂ такой, что Dφ = D для некоторого D. Два множества различий изоморфны, если конструкции, соответствующие им, изоморфны как блочные конструкции. Эквивалентные множества различий изоморфны, но существуют примеры изоморфных множеств различий, которые не являются эквивалентными. В случае циклического множества различий все известные изоморфные множества различий эквивалентны.
История
Систематическое использование циклических разностных множеств и методов построения симметричных блочных схем восходит к Р. С. Бозу и его основополагающей работе 1939 года. Однако различные примеры появились ранее, такие как "разностные множества Пейли", которые относятся к 1933 году. Обобщение понятия циклического разностного множества на более общие группы принадлежит Р. Х. Бруку, 1955 год. Мультипликаторы были введены Маршаллом Холлом-младшим в 1947 году.
Применение
Кя, Чжоу и Джаннакис показали, что разностные множества можно использовать для построения комплексного векторного кодекса, достигающего сложного предела Уэлча на максимальную амплитуду перекрестной корреляции. Построенный таким образом кодекс также формирует так называемое грассманиановое многообразие.