Введение
Операция, объединяющая левый и правый 𝑅-модуль в абелеву группу. В математике тензорное произведение модулей — это конструкция, позволяющая проводить рассуждения о билинейных отображениях (например, об умножении) в терминах линейных отображений. Конструкция модуля аналогична конструкции тензорного произведения векторных пространств, но может быть выполнена для пары модулей над коммутативным кольцом, в результате чего получается третий модуль, а также для пары правого модуля и левого модуля над любым кольцом, в результате чего получается абелева группа. Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры, гомологической алгебры, алгебраической топологии, алгебраической геометрии, алгебр операторов и некоммутативной геометрии. Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется на более общие ситуации в абстрактной алгебре. Тензорное произведение алгебры и модуля может быть использовано для расширения скаляров. Для коммутативного кольца тензорное произведение модулей можно итерировать для построения тензорной алгебры модуля, что позволяет определить умножение в модуле универсальным образом.
In mathematics, the tensor product of modules is a construction that allows arguments about bilinear maps (e. g. multiplication) to be carried out in terms of linear maps. The module construction is analogous to the construction of the tensor product of vector spaces, but can be carried out for a pair of modules over a commutative ring resulting in a third module, and also for a pair of a right module and a left module over any ring, with result an abelian group. Tensor products are important in areas of abstract algebra, homological algebra, algebraic topology, algebraic geometry, operator algebras and noncommutative geometry. The universal property of the tensor product of vector spaces extends to more general situations in abstract algebra. The tensor product of an algebra and a module can be used for extension of scalars. For a commutative ring, the tensor product of modules can be iterated to form the tensor algebra of a module, allowing one to define multiplication in the module in a universal way.
Определение того, равно ли нулю тензорное произведение модулей
На практике иногда труднее показать, что тензорное произведение R-модулей отлично от нуля, чем показать, что оно равно нулю. Универсальное свойство предоставляет удобный способ для проверки этого. Чтобы проверить, что тензорное произведение отлично от нуля, можно построить R-билинейное отображение в абелеву группу, такое что f(m, n) ≠ 0. Это работает, потому что если m ⊗ n = 0, то f(m, n) = f̄(m ⊗ n) = f̄(0) = 0.
Например, чтобы увидеть, что Z/pZ ⊗ Z Z/pZ отлично от нуля, выберем отображение f(m, n) = mn. Это означает, что чистые тензоры отличны от нуля, пока m не равен нулю в Z/pZ.
For example, to see that 1= \Z/p\Z \otimes Z \Z/p\Z , is nonzero, take to be and 1= (m,n) \mapsto mn This says that the pure tensors as long as is nonzero in 1= \Z / p\Z .
Тензорное произведение R-модуля с полей дроби
Пусть R — целостное кольцо с полем частных K. Для любого R-модуля M, как R-модули, где — торсионный подмодуль M. Если M — торсионный R-модуль, то . Если M не является торсионным R-модулем, то 1 = K ⊗<sub>R</sub> M ≠ 0. Если N — подмодуль M, такой что — торсионный модуль, то как R-модули по отображению 1 = x ⊗ n ↦ x ⊗ n. В K ⊗<sub>R</sub> M, элемент 1 равен 0 тогда и только тогда, когда или 1 = m ∈ M<sub>tor</sub>. В частности, где 1 = m ↦ 1 ⊗ m, а M<sub>P</sub> — локализация модуля M по простому идеалу P (то есть локализация по отношению к ненулевым элементам).
For any R module M, as R modules, where is the torsion submodule of M.
If M is a torsion R module then and if M is not a torsion module then 1= K \otimes R M \ne 0 If N is a submodule of M such that is a torsion module then as R modules by 1= x \otimes n \mapsto x \otimes n In 1= K \otimes R M , if and only if or 1= m \in M {\operatorname{tor} } In particular, where 1= m \mapsto 1 \otimes m where is the localization of the module at the prime ideal (i. e., the localization with respect to the nonzero elements).
Примеры
1= R^n ⊗ R S = S^n для любой R-алгебры S (то есть свободный модуль остаётся свободным после расширения скаляров). Для коммутативного кольца и коммутативной R-алгебры S имеем: фактически, в более общем случае, где — идеал. Используя 1= ℂ = ℝ[x]/(x^2 + 1), предыдущий пример и китайскую теорему об остатках, получаем как кольца. Это даёт пример, когда тензорное произведение является прямым произведением. 1= ℝ ⊗ ℤ ℤ[i] = ℝ[i] = ℂ.
Как линейные карты
В общем случае, не все свойства тензорного произведения векторных пространств переносятся на модули. Однако некоторые полезные свойства тензорного произведения, рассматриваемые как гомоморфизмы модулей, остаются верными.
Двойной модуль
Двойной модуль правого R-модуля E определяется как HomR(E, R) с канонической структурой левого R-модуля и обозначается E∗. Каноническая структура задается поточечными операциями сложения и скалярного умножения. Таким образом, E∗ – это множество всех R-линейных отображений из E в R (также называемых линейными формами), с соответствующими операциями.
Двойственный модуль левого R-модуля определяется аналогично, с той же нотацией. Всегда существует канонический гомоморфизм E → E^(∗∗) из E в его второй двойственный модуль. Он является изоморфизмом, если E – свободный модуль конечного ранга. В общем случае, модуль E называется рефлексивным, если канонический гомоморфизм является изоморфизмом.
Элемент как (би) линейная карта
В общем случае каждый элемент тензорного произведения модулей порождает левое R-линейное отображение, правое R-линейное отображение и R-билинейную форму. В отличие от коммутативного случая, в общем случае тензорное произведение не является R-модулем и, следовательно, не поддерживает скалярное умножение. Для правого R-модуля E и правого R-модуля F существует канонический гомоморфизм θ : F ⊗R E^(∗) → HomR(E, F) такой, что θ(f ⊗ e′) является отображением. Для левого R-модуля E и правого R-модуля F существует канонический гомоморфизм θ : F ⊗R E → HomR(E^(∗), F) такой, что θ(f ⊗ e) является отображением. Оба случая справедливы для общих модулей и становятся изоморфизмами, если модули E и F ограничены конечно порожденными проективными модулями (в частности, свободными модулями конечного ранга). Таким образом, элемент тензорного произведения модулей над кольцом R канонически отображается в R-линейное отображение, хотя, как и в случае векторных пространств, на модули накладываются ограничения, чтобы это было эквивалентно полному пространству таких линейных отображений. Для правого R-модуля E и левого R-модуля F существует канонический гомоморфизм θ : F^(∗) ⊗R E^(∗) → LR(F × E, R) такой, что θ(f′ ⊗ e′) является отображением (f, e) ↦ ⟨f, f′⟩ ⋅ ⟨e′, e⟩. Таким образом, элемент тензорного произведения ξ ∈ F∗ ⊗R E∗ можно рассматривать как порождающий или действующий как R-билинейное отображение F × E → R.
Both cases hold for general modules, and become isomorphisms if the modules E and F are restricted to being finitely generated projective modules (in particular free modules of finite ranks). Thus, an element of a tensor product of modules over a ring R maps canonically onto an R linear map, though as with vector spaces, constraints apply to the modules for this to be equivalent to the full space of such linear maps. Given right R module E and left R module F, there is a canonical homomorphism θ : F^(∗) ⊗R E^(∗) → LR(F × E, R) such that θ(f′ ⊗ e′) is the map (f, e) ↦ ⟨f, f′⟩ ⋅ ⟨e′, e⟩. Thus, an element of a tensor product ξ ∈ F∗ ⊗R E∗ may be thought of giving rise to or acting as an R bilinear map F × E → R.
Пример из дифференциальной геометрии: тензорное поле
Наиболее ярким примером тензорного произведения модулей в дифференциальной геометрии является тензорное произведение пространств векторных полей и дифференциальных форм. Более точно, если R – это (коммутативное) кольцо гладких функций на гладком многообразии M, то определяется следующее:
где Γ обозначает пространство сечений, а верхний индекс – тензорное произведение p раз над R. По определению, элемент является тензорным полем типа (p, q). Как R-модули, является двойственным модулем к = \mathfrak{T}^p q. Для упрощения обозначений положим и, следовательно, = E^* = \Gamma(M, T^* M). Когда p, q ≥ 1, для каждой пары (k, l) с 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q, существует R-мультилинейное отображение:
To lighten the notation, put and so 1= E^* = \Gamma(M, T^* M) When p, q ≥ 1, for each (k, l) with 1 ≤ k ≤ p, 1 ≤ l ≤ q, there is an R multilinear map:
где обозначает , а символ «шляпа» указывает на пропущенный член. По универсальному свойству, оно соответствует единственному R-линейному отображению:
Оно называется стяжением тензоров по индексам (k, l). Раскрывая смысл универсального свойства, получаем:
Замечание: Приведенное выше обсуждение является стандартным в учебниках по дифференциальной геометрии (например, у Хельгасона). В некотором смысле, построение в терминах пучков (то есть язык пучков модулей) более естественно и становится все более распространенным; об этом см. в разделе .