Введение

В математике, разветвлённое накрытие — это отображение, которое почти является покрывающим отображением, за исключением малого множества.

В топологии

В топологии отображение является разветвленным покрытием, если оно является покрывающим отображением везде, за исключением нигде не плотного множества, известного как множество ветвлений. Примером может служить отображение из клина окружностей в одну окружность, где отображение является гомеоморфизмом на каждой окружности.

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии термин "разветвленное покрытие" используется для описания морфизмов из алгебраического многообразия в другое, при этом оба многообразия имеют одинаковую размерность, а типичное волокно имеет размерность 0. В этом случае существует открытое множество (в топологии Зариски), плотное в , такое что ограничение этого морфизма на это множество (из в , то есть) не является разветвленным. В зависимости от контекста, это можно понимать как локальный гомеоморфизм в сильной топологии над комплексными числами, или как этальный морфизм в общем случае (при некоторых немного более строгих условиях на плоскостность и разделимость). В общем случае, такой морфизм напоминает покрывающее пространство в топологическом смысле. Например, если и – компактные римановы поверхности, достаточно потребовать, чтобы морфизм был голоморфным и не постоянным, и тогда существует конечное множество точек , вне которых мы действительно получаем честное покрытие.

Локус разветвления

Набор исключительных точек называется локусом ветвлений (то есть это дополнение к наибольшему возможному открытому множеству). В общем случае монодромия происходит в соответствии с действием фундаментальной группы на листы накрытия (эта топологическая картина может быть уточнена и в случае общего базового поля).

Расширения Куммера

Разветвленные накрытия легко строятся как расширения Куммера, то есть как алгебраические расширения поля функций. Гиперэллиптические кривые служат прототипическими примерами.

Неразветвленное покрытие

Неразветвленное покрытие — это случай, когда локус ветвлений пуст.

Плоская алгебраическая кривая

Предыдущий пример можно обобщить на любую алгебраическую плоскую кривую следующим образом. Пусть C — плоская кривая, заданная уравнением 1 = f(x, y) = 0, где f — разделимый и неприводимый многочлен от двух переменных. Если n — степень f относительно y, то волокно состоит из n различных точек, за исключением конечного числа значений x. Таким образом, эта проекция является разветвленным покрытием степени n. Исключительные значения x — это корни коэффициента при y в f и корни дискриминанта f относительно y. Над корнем r дискриминанта существует по крайней мере одна точка ветвления, которая является либо критической точкой, либо сингулярной точкой. Если r также является корнем коэффициента при y в f, то эта точка ветвления находится «в бесконечности». Над корнем s коэффициента при y в f кривая C имеет бесконечную ветвь, и волокно в s содержит менее n точек. Однако, если расширить проекцию до проективных завершений C и оси x, и если s не является корнем дискриминанта, то проекция становится покрытием в окрестности s. Тот факт, что эта проекция является разветвленным покрытием степени n, также можно увидеть, рассматривая поля функций. Действительно, эта проекция соответствует расширению поля степени n.

Различные разветвления

Мы также можем обобщить разветвленные покрытия прямой с переменной степенью ветвления. Рассмотрим полином вида

при выборе различных точек, волокна, заданные множеством нулей , меняются. В любой точке, где кратность одного из линейных множителей в разложении на множители увеличивается на единицу, возникает ветвление.

Приложения

Разветвленные накрытия обладают группой симметрий преобразований. Поскольку группа симметрий имеет стабилизаторы в точках множества ветвлений, разветвленные накрытия могут быть использованы для построения примеров орбифолдов или стеков Делинье — Мамфорда.