Регуляризация дзета-функцией: метод суммирования расходящихся рядов в физике и математике. Применение в теории чисел, определение детерминантов и следов операторов.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Метод суммирования в физике
Summability method in physics
В математике и теоретической физике регуляризация дзета-функцией — это тип регуляризации или метод суммирования, который присваивает конечные значения расходящимся суммам или произведениям и, в частности, может использоваться для определения определителей и следов некоторых самосопряжённых операторов. Эта техника широко применяется сейчас к задачам в физике, но берет своё начало в попытках придать точный смысл плохо определённым суммам, возникающим в теории чисел.
In mathematics and theoretical physics, zeta function regularization is a type of regularization or summability method that assigns finite values to divergent sums or products, and in particular can be used to define determinants and traces of some self adjoint operators. The technique is now commonly applied to problems in physics, but has its origins in attempts to give precise meanings to ill conditioned sums appearing in number theory.
Отношение к другим регуляризациям
Регуляризация дзета-функции эквивалентна размерной регуляризации, см. Однако, основное преимущество регуляризации дзета-функции состоит в том, что её можно использовать в тех случаях, когда размерная регуляризация не работает, например, если в вычислениях присутствуют матрицы или тензоры.
Zeta function regularization is equivalent to dimensional regularization, see. However, the main advantage of the zeta regularization is that it can be used whenever the dimensional regularization fails, for example if there are matrices or tensors inside the calculations
История
Большая часть ранних работ по установлению сходимости и эквивалентности рядов, регуляризованных с помощью теплового ядра и методов регуляризации дзета-функцией, была выполнена Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвудом в 1916 году и основана на применении интеграла Каэна — Меллина. Эти усилия были предприняты для получения значений различных плохо определенных, условно сходящихся сумм, возникающих в теории чисел. Что касается применения в качестве регулятора в физических задачах, то до 1976 года Дж. Стюарт Даукер и Рэймонд Критчли предложили метод регуляризации дзета-функцией для задач квантовой физики. Эмилио Элизальде и другие также предложили метод, основанный на дзета-регуляризации для интегралов, где — регулятор, а расходящийся интеграл зависит от чисел в пределе (см. ренормализацию). В отличие от других методов регуляризации, таких как размерностная регуляризация и аналитическая регуляризация, дзета-регуляризация не требует введения контртермов и дает только конечные результаты.
Much of the early work establishing the convergence and equivalence of series regularized with the heat kernel and zeta function regularization methods was done by G. H. Hardy and J. E. Littlewood in 1916 and is based on the application of the Cahen–Mellin integral. The effort was made in order to obtain values for various ill defined, conditionally convergent sums appearing in number theory. In terms of application as the regulator in physical problems, before , J. Stuart Dowker and Raymond Critchley in 1976 proposed a zeta function regularization method for quantum physical problems. Emilio Elizalde and others have also proposed a method based on the zeta regularization for the integrals , here is a regulator and the divergent integral depends on the numbers in the limit see renormalization. Also unlike other regularizations such as dimensional regularization and analytic regularization, zeta regularization has no counterterms and gives only finite results.