Введение

Алгебраическая структура

В математике модуль Тейта абелевой группы, названный в честь Джона Тейта, — это модуль, построенный из абелевой группы A. Часто эта конструкция выполняется в следующей ситуации: G — коммутативная групповая схема над полем K, Ks — сепарабельное замыкание K, и A = G(Ks) (множество Ks-значных точек G). В этом случае модуль Тейта группы A снабжен действием абсолютной группы Галуа поля K и называется модулем Тейта группы G.

Модуль Тейт

Когда абелева группа A является группой корней из единицы в сепарабельном замыкании Ks поля K, p-адический модуль Тата группы A иногда называют модулем Тата (при этом выбор p и K подразумевается). Это свободный модуль ранга один над Zp с линейным действием абсолютной группы Галуа GK поля K. Следовательно, это также представление Галуа, которое называют p-адическим циклотомическим характером поля K. Его также можно рассматривать как модуль Тата мультипликативной групповой схемы Gm,K над K.

Модуль Tate из числа

Описание модуля Тейт для поля функций кривой над конечным полем наводит на мысль об определении модуля Тейт алгебраического поля чисел, другого класса глобальных полей, введенного Кенкичи Ивасавой. Для числового поля K обозначим через Km расширение, содержащее корни степени pm из единицы, а объединение Km и A(p) – максимальное неразветвленное абелево p-расширение. Тогда Tp(K) является pro-p группой и, следовательно, Zp-модулем. Используя теорию полей классов, можно описать Tp(K) как изоморфный обратному пределу классовых групп Cm полей Km относительно нормы.