Введение
Калибровка дерева краткосрочных ставок по BDT:
Шаг 0. Установить риско-нейтральную вероятность повышения ставки, p, равной 50%.
Шаг 1. Для каждой входной спотовой ставки итеративно:
корректировать ставку в верхнем узле на текущем временном шаге, i;
находить все остальные ставки на этом временном шаге, которые связаны с узлом непосредственно выше (r; где r – рассматриваемый узел) посредством (шаг между узлами соответствует p = 50%; Δt – длина временного шага);
рекурсивно дисконтировать значения по дереву, используя ставку в каждом узле, то есть посредством "обратной индукции", от рассматриваемого временного шага до первого узла в дереве (то есть i = 0);
повторять до тех пор, пока дисконтированная стоимость в первом узле дерева не станет равна нулевой цене, соответствующей заданной спотовой процентной ставке для i-го временного шага.
Шаг 2. После решения сохранить эти известные краткосрочные ставки и перейти к следующему временному шагу (то есть входной спотовой ставке), "выращивая" дерево до тех пор, пока оно не включит полную входную кривую доходности. В математических финансах модель Блэка–Дермана–Тоя (BDT) является популярной моделью краткосрочных ставок, используемой для оценки опционов на облигации, свопционных опционов и других производных инструментов процентных ставок; см. Это однофакторная модель; то есть единственный стохастический фактор – краткосрочная ставка – определяет будущее изменение всех процентных ставок. Она стала первой моделью, объединившей свойство возврата к среднему для краткосрочной ставки с логнормальным распределением и до сих пор широко используется.
Step 0. Set the risk neutral probability of an up move, p, to 50%
Step 1. For each input spot rate, iteratively:
adjust the rate at the top most node at the current time step, i;
find all other rates in the time step, where these are linked to the node immediately above (r; r being the node in question) via (this node spacing being consistent with p = 50%; Δt being the length of the time step);
discount recursively through the tree using the rate at each node, i. e. via "backwards induction", from the time step in question to the first node in the tree (i. e. i=0);
repeat until the discounted value at the first node in the tree equals the zero price corresponding to the given spot interest rate for the i th time step. Step 2. Once solved, retain these known short rates, and proceed to the next time step (i. e. input spot rate), "growing" the tree until it incorporates the full input yield curve. In mathematical finance, the Black–Derman–Toy model (BDT) is a popular short rate model used in the pricing of bond options, swaptions and other interest rate derivatives; see It is a one factor model; that is, a single stochastic factor—the short rate—determines the future evolution of all interest rates. It was the first model to combine the mean reverting behaviour of the short rate with the log normal distribution, and is still widely used.
История
Модель была представлена Фишером Блэком, Эммануэлем Дерманом и Биллом Тоем. Она впервые была разработана для внутреннего использования в Goldman Sachs в 1980-х годах и опубликована в журнале Financial Analysts Journal в 1990 году. Личный рассказ о разработке модели содержится в мемуарах Эммануэля Дермана «Моя жизнь как квант».