Вронскиан решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка: Тождество Абеля
Abel's identity
Вронскиан и тождество Абеля: связь между решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Применение в математике и методе вариации параметров.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
О Вронскиане двух решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка
On the Wronskian of two solutions of a homogeneous second order linear differential equation
В математике, тождество Абеля (также называемое формулой Абеля или тождеством Абеля для дифференциальных уравнений) — это уравнение, выражающее Вронскиан двух решений однородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка через коэффициент исходного дифференциального уравнения. Это соотношение можно обобщить на линейные обыкновенные дифференциальные уравнения n-го порядка. Тождество названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Поскольку тождество Абеля связывает различные линейно независимые решения дифференциального уравнения, его можно использовать для нахождения одного решения по другому. Оно предоставляет полезные соотношения между решениями и также полезно как часть других методов, таких как метод вариации параметров. Это особенно полезно для уравнений, таких как уравнение Бесселя, где решения не имеют простого аналитического вида, поскольку в таких случаях Вронскиан сложно вычислить непосредственно. Обобщение для систем однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка дается формулой Лиувиля.
In mathematics, Abel's identity (also called Abel's formula or Abel's differential equation identity) is an equation that expresses the Wronskian of two solutions of a homogeneous second order linear ordinary differential equation in terms of a coefficient of the original differential equation. The relation can be generalised to nth order linear ordinary differential equations. The identity is named after the Norwegian mathematician Niels Henrik Abel. Since Abel's identity relates to the different linearly independent solutions of the differential equation, it can be used to find one solution from the other. It provides useful identities relating the solutions, and is also useful as a part of other techniques such as the method of variation of parameters. It is especially useful for equations such as Bessel's equation where the solutions do not have a simple analytical form, because in such cases the Wronskian is difficult to compute directly. A generalisation of first order systems of homogeneous linear differential equations is given by Liouville's formula.
Замечания
В частности, когда дифференциальное уравнение вещественнозначное, определитель Вронского всегда либо тождественно равен нулю, либо всегда положителен, либо всегда отрицателен во всех точках (см. доказательство ниже). Последние случаи означают, что два решения и линейно независимы (см. статью «Определитель Вронского» для доказательства). Нет необходимости предполагать, что вторые производные решений и непрерывны. Теорема Абеля особенно полезна, если , поскольку она подразумевает, что является постоянной.
In particular, when the differential equation is real valued, the Wronskian is always either identically zero, always positive, or always negative at every point in (see proof below). The latter cases imply the two solutions and are linearly independent (see Wronskian for a proof). It is not necessary to assume that the second derivatives of the solutions and are continuous. Abel's theorem is particularly useful if , because it implies that is constant.