Введение

Алгебраическое кольцо без единицы

В математике, и в частности в абстрактной алгебре, rng (или не унитальное кольцо, или псевдокольцо) — это алгебраическая структура, удовлетворяющая тем же свойствам, что и кольцо, но без предположения о существовании единицы. Термин rng (IPA: /r//ʌ//ŋ/) призван указывать на то, что это кольцо без i, то есть без требования наличия единичного элемента. В сообществе нет единого мнения о том, должно ли существование единицы быть одним из аксиом кольца (см.). Термин rng был введен для устранения этой неоднозначности, когда необходимо явно ссылаться на кольцо без аксиомы единицы. Многие алгебры функций, рассматриваемые в анализе, не являются унитальными, например, алгебра функций, стремящихся к нулю на бесконечности, особенно функции с компактным носителем на некотором (некомпактном) пространстве.

Пример: четные целые числа

Множество 2Z четных целых чисел замкнуто относительно сложения и умножения и имеет аддитивную единицу, 0, поэтому оно является rng, но не имеет мультипликативной единицы, поэтому это не кольцо. В 2Z единственным мультипликативным идемпотентом является 0, единственным нильпотентом является 0, и единственным элементом, имеющим рефлексивный обратный, является 0.

Rng квадрата ноль

Rng квадрата нуля — это rng R, для которого 1 = xy = 0 для всех x и y из R. Любую абелеву группу можно сделать rng квадрата нуля, определив умножение так, чтобы 1 = xy = 0 для всех x и y; таким образом, каждая абелева группа является аддитивной группой некоторого rng. Единственный rng квадрата нуля с мультипликативной единицей — это нулевое кольцо {0}. Любая аддитивная подгруппа rng квадрата нуля является идеалом. Следовательно, rng квадрата нуля является простым тогда и только тогда, когда его аддитивная группа является простой абелевой группой, то есть циклической группой простого порядка.