Введение
В математике, в частности в алгебраической геометрии и алгебраической топологии, теорема Лефшеца о гиперплоскости является точным утверждением об определенных соотношениях между геометрией алгебраического многообразия и геометрией его подмногообразий. Более точно, теорема утверждает, что для многообразия X, погруженного в проективное пространство, и гиперплоскостного сечения Y, группы гомологии, когомологии и гомотопии X определяют соответствующие группы для Y. Первый результат такого рода был сформулирован Соломоном Лефшецем для групп гомологии комплексных алгебраических многообразий. Позднее аналогичные результаты были получены для групп гомотопии, в положительной характеристике, а также в других теориях гомологии и когомологии. Значительное обобщение теоремы Лефшеца дается теоремой о разложении.
Теорема о гиперплоскости Лефшеца для сложных проективных разновидностей
Пусть X – гладкое n-мерное комплексное проективное алгебраическое многообразие в ℂPⁿ, и пусть H – гиперплоскостное сечение X, такое что H гладко. Теорема Лефшеца относится к любому из следующих утверждений:
Натуральное отображение в сингулярной гомологии является изоморфизмом для i < n-1 и сюръективным для i = n-1.
Натуральное отображение в сингулярной когомологии является изоморфизмом для i < n-1 и инъективным для i = n-1.
Натуральное отображение Hⁿ(X, ℤ) → Hⁿ(H, ℤ) является изоморфизмом для n-1 < i < 2n-1 и сюръективным для i = n-1.
Используя длинную точную последовательность, можно показать, что каждое из этих утверждений эквивалентно теореме об исчезновении для определенных относительных топологических инвариантов. А именно:
Относительные сингулярные группы гомологий Hᵢ(X, H) равны нулю для i < n-1.
Относительные сингулярные группы когомологий Hⁱ(X, H) равны нулю для i < n-1.
Относительные группы гомотопии πᵢ(X, H) равны нулю для i < n-1.
The natural map in singular homology is an isomorphism for and is surjective for The natural map in singular cohomology is an isomorphism for and is injective for The natural map is an isomorphism for and is surjective for Using a long exact sequence, one can show that each of these statements is equivalent to a vanishing theorem for certain relative topological invariants. In order, these are:
The relative singular homology groups are zero for The relative singular cohomology groups are zero for The relative homotopy groups are zero for .
Доказательство Лефшеца
Соломон Лефшец использовал свою идею о карандаше Лефшеца для доказательства теоремы. Вместо рассмотрения только одного гиперплоскостного сечения, он поместил его в семейство гиперплоскостных сечений, где, поскольку общее гиперплоскостное сечение гладкое, все, кроме конечного числа, являются гладкими многообразиями. После удаления этих точек с плоскости и добавления конечного числа разрезов, полученное семейство гиперплоскостных сечений становится топологически тривиальным. То есть, оно является произведением общего многообразия на открытое подмножество плоскости. Следовательно, можно понять структуру многообразия, если понять, как гиперплоскостные сечения отождествляются вдоль разрезов и в особых точках. Вдали от особых точек отождествление можно описать индуктивно. В особых точках лемма Морса подразумевает, что существует выбор системы координат для многообразия особо простой формы. Эта система координат может быть использована для непосредственного доказательства теоремы.
Доказательство Андреотти и Франкеля
Альдо Андреотти и Теодор Франкель осознали, что теорему Лефшеца можно переформулировать, используя теорию Морса. В этом случае параметр выступает в роли функции Морса. Основным инструментом в этом подходе является теорема Андреотти — Франкеля, утверждающая, что комплексное аффинное многообразие комплексной размерности (и, следовательно, вещественной размерности) имеет гомотопический тип CW-комплекса (вещественной) размерности. Из этого следует, что относительные группы гомологии в тривиальны в степенях меньше, чем. Затем длинная точная последовательность относительной гомологии даёт доказательство теоремы.
Доказательства Тома и Ботта
Ни доказательство Лефшеца, ни доказательство Андреотти и Франкеля непосредственно не приводят к теореме Лефшеца о гиперплоскости для гомотопических групп. Подход, который это делает, был найден Рене Томом не позднее 1957 года и упрощен и опубликован Раулем Боттом в 1959 году. Том и Ботт интерпретируют как множество нулей сечения линейного расслоения в . Применение теории Морса к этому сечению позволяет заключить, что можно построить из путем добавления ячеек размерности или выше. Отсюда следует, что относительные гомологии и гомотопические группы в сосредоточены в степенях и выше, что и доказывает теорему.
Доказательство Кодайры и Спенсера для групп Ходжа
Кунихико Кодайра и Дональд С. Спенсер обнаружили, что при определенных ограничениях можно доказать теорему типа Лефшеца для групп Ходжа. В частности, предположим, что гладкое и что линейное расслоение изобильно. Тогда карта ограничения является изоморфизмом, если и инъективной, если . По теории Ходжа эти группы кохомологии равны группам когомологий пучков и . Следовательно, теорема следует из применения теоремы исчезновения Акидзуки — Накано к и использования длинной точной последовательности. Комбинируя это доказательство с теоремой об универсальных коэффициентах, можно почти получить обычную теорему Лефшеца для когомологий с коэффициентами в любом поле характеристики ноль. Однако она немного слабее из-за дополнительных предположений о .
Доказательство Артина и Гротендика для конструктивных снопов
Майкл Артин и Александр Гротендик нашли обобщение теоремы Лефшеца о гиперплоскости для случая, когда коэффициенты когомологий лежат не в поле, а в конструктивном пучке. Они доказывают, что для конструктивного пучка на аффинном многообразии когомологические группы обращаются в ноль при .
Теорема Лефшеца в других теориях кохомологии
Мотивацией доказательства Артина и Гротендика для конструктивных пучков было создание доказательства, которое можно было бы адаптировать к контексту этальной и адической когомологии. При определенных ограничениях на конструктивный пучок, теорема Лефшеца остаётся верной для конструктивных пучков в положительной характеристике. Теорему также можно обобщить на гомологию пересечений. В этом случае теорема справедлива для сильно сингулярных пространств. Теорема типа Лефшеца также верна для групп Пикара.
Теорема Харда Лефшеца
Пусть будет n-мерным несингулярным комплексным проективным многообразием в Тогда в кольце кохомологии , n-кратное произведение с классом кохомологии гиперплоскости дает изоморфизм между и . Это жесткая теорема Лефшеца, названная Гротендиком на французском языке более неформально как Théorème de Lefschetz vache. Она непосредственно влечет за собой часть об инъективности теоремы о гиперплоскости Лефшеца. Жесткая теорема Лефшеца на самом деле справедлива для любого компактного кэлерова многообразия, при этом изоморфизм в кохомологии де Рама задается умножением на степень класса кэлеровой формы. Она может не выполняться для некэлеровых многообразий: например, поверхности Хопфа имеют исчезающие вторые когомологические группы, поэтому нет аналога второго когомологического класса гиперплоскостного сечения. Жесткая теорема Лефшеца была доказана для адической кохомологии гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики .
This is the hard Lefschetz theorem, christened in French by Grothendieck more colloquially as the Théorème de Lefschetz vache. It immediately implies the injectivity part of the Lefschetz hyperplane theorem. The hard Lefschetz theorem in fact holds for any compact Kähler manifold, with the isomorphism in de Rham cohomology given by multiplication by a power of the class of the Kähler form. It can fail for non Kähler manifolds: for example, Hopf surfaces have vanishing second cohomology groups, so there is no analogue of the second cohomology class of a hyperplane section. The hard Lefschetz theorem was proven for adic cohomology of smooth projective varieties over algebraically closed fields of positive characteristic by .