Введение
Обобщения нуля в алгебраических структурах
В математике нулевой элемент — это одно из нескольких обобщений числа ноль для других алгебраических структур. Эти альтернативные определения могут совпадать, а могут и не совпадать, в зависимости от контекста.
Нулевые морфизмы
Нулевой морфизм в категории — это обобщенный поглощающий элемент относительно композиции морфизмов: любой морфизм, составленный с нулевым морфизмом, дает нулевой морфизм. В частности, если 0XY : X → Y — нулевой морфизм среди морфизмов из X в Y, а f : A → X и g : Y → B — произвольные морфизмы, то f ∘ 0XY = 0AX и 0XY ∘ g = 0YB. Если категория имеет нулевой объект 0, то существуют канонические морфизмы X → 0 и 0 → Y, и их композиция дает нулевой морфизм 0XY : X → Y. В категории групп, например, нулевые морфизмы — это морфизмы, которые всегда отображают элементы в единичный элемент группы, тем самым обобщая понятие нулевой функции.
If a category has a zero object 0, then there are canonical morphisms X → 0 and 0 → Y, and composing them gives a zero morphism 0XY : X → Y. In the category of groups, for example, zero morphisms are morphisms which always return group identities, thus generalising the function
Минимальные элементы
Наименьший элемент в частично упорядоченном множестве или решетке иногда называют нулевым элементом и записывают как 0 или ⊥.
Нулевой модуль
В математике нулевой модуль — это модуль, состоящий только из аддитивного нуля. В кольце целых чисел этот ноль является аддитивным тождеством, что и обуславливает название «нулевой модуль». Легко показать, что нулевой модуль действительно является модулем, поскольку он тривиально замкнут относительно сложения и умножения.
Нулевой идеал
В математике нулевой идеал в кольце — это идеал, состоящий только из аддитивного нуля (или нулевого элемента). Тот факт, что это идеал, следует непосредственно из определения.
Нулевая матрица
В математике, особенно в линейной алгебре, нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны нулю. Она также обозначается символом 0. Примеры нулевых матриц:
The set of m × n matrices with entries in a ring K forms a module The zero matrix in is the matrix with all entries equal to , where is the additive identity in K.
The zero matrix is the additive identity in That is, for all :
There is exactly one zero matrix of any given size m × n (with entries from a given ring), so when the context is clear, one often refers to the zero matrix. In a matrix ring, the zero matrix serves the role of both an additive identity and an absorbing element. In general, the zero element of a ring is unique, and typically denoted as 0 without any subscript to indicate the parent ring. Hence the examples above represent zero matrices over any ring. The zero matrix also represents the linear transformation which sends all vectors to the zero vector.
Множество m × n матриц с элементами из кольца K образует модуль. Нулевая матрица в этом модуле — это матрица, все элементы которой равны 0, где 0 — нейтральный элемент сложения в кольце K. Нулевая матрица является нейтральным элементом сложения в этом модуле. То есть, для всех матриц A и B:
The set of m × n matrices with entries in a ring K forms a module The zero matrix in is the matrix with all entries equal to , where is the additive identity in K.
The zero matrix is the additive identity in That is, for all :
There is exactly one zero matrix of any given size m × n (with entries from a given ring), so when the context is clear, one often refers to the zero matrix. In a matrix ring, the zero matrix serves the role of both an additive identity and an absorbing element. In general, the zero element of a ring is unique, and typically denoted as 0 without any subscript to indicate the parent ring. Hence the examples above represent zero matrices over any ring. The zero matrix also represents the linear transformation which sends all vectors to the zero vector.
Существует ровно одна нулевая матрица заданного размера m × n (с элементами из заданного кольца), поэтому, если контекст понятен, обычно говорят просто о нулевой матрице. В кольце матриц нулевая матрица выполняет роль как нейтрального элемента сложения, так и поглощающего элемента. В общем случае, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без каких-либо индексов, указывающих на исходное кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом. Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование, которое отображает все векторы в нулевой вектор.
The set of m × n matrices with entries in a ring K forms a module The zero matrix in is the matrix with all entries equal to , where is the additive identity in K.
The zero matrix is the additive identity in That is, for all :
There is exactly one zero matrix of any given size m × n (with entries from a given ring), so when the context is clear, one often refers to the zero matrix. In a matrix ring, the zero matrix serves the role of both an additive identity and an absorbing element. In general, the zero element of a ring is unique, and typically denoted as 0 without any subscript to indicate the parent ring. Hence the examples above represent zero matrices over any ring. The zero matrix also represents the linear transformation which sends all vectors to the zero vector.
Нулевой тензор
В математике нулевой тензор — это тензор любого ранга, все компоненты которого равны нулю. Нулевой тензор ранга 1 иногда называют нулевым вектором. Тензорное произведение любого тензора с любым нулевым тензором даёт в результате нулевой тензор. Среди тензоров заданного типа нулевой тензор этого типа является аддитивным нейтральным элементом для этих тензоров.