Ромбический икосаэдр: полиэдр в форме приплюснутой сферы с 20 золотыми ромбами. 22 вершины, уникальная симметрия и расположение граней. Геометрия и свойства.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Ромбический икосаэдр — это многогранник, имеющий форму уплощенной сферы. Его 20 граней — конгруэнтные золотые ромбы, и в каждой вершине сходятся 3, 4 или 5 граней. На каждом из двух полюсов сходятся по 5 граней (зеленые на верхнем рисунке); эти 2 вершины лежат на оси 5-кратной симметрии, которая перпендикулярна 5 осям 2-кратной симметрии, проходящим через середины противоположных экваториальных ребер (пример на верхнем рисунке: крайние левое и крайнее правое ребра). Остальные 10 граней расположены вдоль экватора, по 5 выше и 5 ниже его; каждая из этих 10 ромбов имеет 2 из своих 4 сторон, лежащих на зигзагообразном скошенном декагоне экватора. Ромбический икосаэдр имеет 22 вершин. Его группа симметрии — D5d, [2+,10], (2*5) порядка 20; таким образом, он имеет центр симметрии (поскольку 5 — нечетное число). Несмотря на то, что все его грани конгруэнтны, ромбический икосаэдр не является транзитивным по граням, поскольку можно определить, находится ли конкретная грань вблизи экватора или полюса, изучая типы вершин, окружающих эту грань.
The rhombic icosahedron is a polyhedron shaped like an oblate sphere. Its 20 faces are congruent golden rhombi; 3, 4, or 5 faces meet at each vertex. It has 5 faces (green on top figure) meeting at each of its 2 poles; these 2 vertices lie on its axis of 5 fold symmetry, which is perpendicular to 5 axes of 2 fold symmetry through the midpoints of opposite equatorial edges (example on top figure: most left hand and most right hand mid edges). Its other 10 faces follow its equator, 5 above and 5 below it; each of these 10 rhombi has 2 of its 4 sides lying on this zig zag skew decagon equator. The rhombic icosahedron has 22 vertices. It has D5d, [2+,10], (2*5) symmetry group, of order 20; thus it has a center of symmetry (since 5 is odd). Even though all its faces are congruent, the rhombic icosahedron is not face transitive, since one can distinguish whether a particular face is near the equator or near a pole by examining the types of vertices surrounding this face.
Зонаэдр
Ромбический икосаэдр — это зоноэдр, двойственный пятиугольной гиробикуполе с правильными треугольными, правильными пятиугольными и неправильными четырёхугольными гранями. Ромбический икосаэдр имеет 5 наборов по 8 параллельных рёбер, описываемых как 85 поясов. Рёбра ромбического икосаэдра можно сгруппировать в 5 параллельных наборов, что видно на данной каркасной ортогональной проекции. Ромбический икосаэдр образует выпуклую оболочку вершинной первой проекции 5-мерного куба в 3 измерения. 32 вершины 5-мерного куба отображаются в 22 внешние вершины ромбического икосаэдра, а оставшиеся 10 внутренних вершин образуют пятиугольную антипризму. Аналогичным образом, можно получить додекаэдр Билинского из 4-мерного куба и ромбический триаконтаэдр из 6-мерного куба.
The rhombic icosahedron is a zonohedron, that is dual to a pentagonal gyrobicupola with regular triangular, regular pentagonal, but irregular quadrilateral faces. The rhombic icosahedron has 5 sets of 8 parallel edges, described as 85 belts. The edges of the rhombic icosahedron can be grouped in 5 parallel sets, seen in this wireframe orthogonal projection. The rhombic icosahedron forms the convex hull of the vertex first projection of a 5 cube to 3 dimensions. The 32 vertices of a 5 cube map into the 22 exterior vertices of the rhombic icosahedron, with the remaining 10 interior vertices forming a pentagonal antiprism. In the same way, one can obtain a Bilinski dodecahedron from a 4 cube, and a rhombic triacontahedron from a 6 cube.