Многогранники Кеплера — Пуансо: Звёздные многогранники

Введение

Любой из 4 правильных звездных многогранников.

В геометрии, многогранник Кеплера — Пуансо является одним из четырех правильных звездных многогранников. Его можно получить путем звездчатого усечения правильных выпуклых додекаэдра и икосаэдра, и он отличается от них наличием правильных пентаграмм в качестве граней или вершинных фигур. Все они в той или иной степени могут рассматриваться как трехмерные аналоги пентаграммы.

Размеры

Длина ребра большого икосаэдра в раз больше длины ребра исходного икосаэдра. Длины ребер малого звездчатого додекаэдра, большого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра соответственно в раз больше длины ребра исходного додекаэдра.

Невыпуклость

Эти фигуры имеют пятиугольные звёзды (звёздные пятиугольники) в качестве граней или вершинных фигур. Малый и большой звёздчатые додекаэдры имеют невыпуклые правильные пятиугольные звёздчатые грани. Большой додекаэдр и большой икосаэдр имеют выпуклые многоугольные грани, но пятиугольные звёздчатые вершинные фигуры. Во всех случаях две грани могут пересекаться по линии, которая не является ребром ни одной из них, так что часть каждой грани проходит через внутреннюю область фигуры. Такие линии пересечения не являются частью многогранной структуры и иногда называются ложными рёбрами. Аналогично, если три такие линии пересекаются в точке, которая не является углом какой-либо грани, эти точки являются ложными вершинами. На изображениях ниже показаны сферы в истинных вершинах и синие стержни вдоль истинных рёбер. Например, малый звёздчатый додекаэдр имеет 12 пятиугольных звёздчатых граней с центральной пятиугольной частью, скрытой внутри тела. Видимые части каждой грани состоят из пяти равнобедренных треугольников, которые соприкасаются в пяти точках вокруг пятиугольника. Мы можем рассматривать эти треугольники как 60 отдельных граней, чтобы получить новый, неправильный многогранник, который выглядит снаружи идентично. Каждое ребро теперь будет разделено на три более коротких ребра (двух разных типов), и 20 ложных вершин станут истинными, так что у нас в общей сложности 32 вершины (опять же двух типов). Скрытые внутренние пятиугольники больше не являются частью многогранной поверхности и могут исчезнуть. Теперь формула Эйлера выполняется: 60 − 90 + 32 = 2. Однако этот многогранник больше не описывается символом Шлефли {5/2, 5}, и поэтому не может быть телом Кеплера — Пуансо, хотя он всё ещё выглядит как таковое снаружи.

Резюме

Название (сокращение Конвея) Изображение Сферическая мощение Диаграмма звездного многогранника Шлефли {p, q} и Коксетер-Динкен Грани {p} Рёбра Вершины {q} Вершинная фигура (конфигурация) Петри многоугольник χ Плотность Симметрия Двойственный большой додекаэдр (gD) {5, 5/2} 12 {5} 30 12 {5/2} (55)/2 {6} −63 Ih Малый звёздный додекаэдр Малый звёздный додекаэдр (sD) {5/2, 5} 12 {5/2} 30 12 {5} (5/2) 5 {6} −63 Ih Большой додекаэдр Большой икосаэдр (gI) {3, 5/2} 20 {3} 30 12 {5/2} (35)/2 {10/3} 27 Ih Большой звёздный додекаэдр Большой звёздный додекаэдр (sgD = gsD) {5/2, 3} 12 {5/2} 30 20 {3} (5/2) 3 {10/3} 27 Ih Большой икосаэдр

История

Большинство, если не все, полиэдры Кеплера — Понсо были известны в той или иной форме ещё до Кеплера. Небольшой звёздчатый додекаэдр встречается в мраморной тарсии (инкрустационной панели) на полу базилики Святого Марка в Венеции, Италия. Она датируется XV веком и иногда приписывается Паоло Уччелло. В своей книге «Perspectiva corporum regularium» (Перспектива правильных тел), состоящей из гравюр и опубликованной в 1568 году, Венцель Ямницер изображает большой звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр (оба изображены ниже). Также существует усечённая версия небольшого звёздчатого додекаэдра. Из общей композиции книги ясно, что он считал регулярными лишь пять платоновых тел. Малый и большой звёздчатые додекаэдры, иногда называемые полиэдрами Кеплера, впервые были признаны регулярными Иоганном Кеплером около 1619 года. Он получил их, выполнив звёздчатое расширение правильного выпуклого додекаэдра, впервые рассматривая его как поверхность, а не как тело. Он заметил, что, продолжая рёбра или грани выпуклого додекаэдра до их повторного пересечения, можно получить звёздные пятиугольники. Более того, он признал, что эти звёздные пятиугольники также являются правильными. Таким образом он построил два звёздчатых додекаэдра. У каждого из них центральная выпуклая область каждой грани «скрыта» внутри, видны лишь треугольные лучи. Последним шагом Кеплера было признание того, что эти многогранники соответствуют определению правильности, хотя они не были выпуклыми, как традиционные платоновы тела. В 1809 году Луи Понсо заново открыл фигуры Кеплера, собирая звёздные пятиугольники вокруг каждой вершины. Он также собирал выпуклые многоугольники вокруг звёздчатых вершин, чтобы открыть ещё две правильные звёзды — большой икосаэдр и большой додекаэдр. Некоторые называют эти два полиэдра полиэдрами Понсо. Понсо не знал, открыл ли он все правильные звёздчатые полиэдры. Три года спустя Огюстен Коши доказал, что список полон, выполнив звёздчатое расширение платоновых тел, а почти через полвека, в 1858 году, Бертран предоставил более элегантное доказательство, используя грани. В следующем году Артур Кейли дал полиэдрам Кеплера — Понсо названия, под которыми они обычно известны сегодня. Спустя сто лет Джон Конвей разработал систематическую терминологию для звёздчатых расширений в пространствах до четырёх измерений. В рамках этой схемы малый звёздчатый додекаэдр — это просто звёздчатый додекаэдр.

Most, if not all, of the Kepler Poinsot polyhedra were known of in some form or other before Kepler. A small stellated dodecahedron appears in a marble tarsia (inlay panel) on the floor of St. Mark's Basilica, Venice, Italy. It dates from the 15th century and is sometimes attributed to Paolo Uccello. In his Perspectiva corporum regularium (Perspectives of the regular solids), a book of woodcuts published in 1568, Wenzel Jamnitzer depicts the great stellated dodecahedron and a great dodecahedron (both shown below). There is also a truncated version of the small stellated dodecahedron. It is clear from the general arrangement of the book that he regarded only the five Platonic solids as regular. The small and great stellated dodecahedra, sometimes called the Kepler polyhedra, were first recognized as regular by Johannes Kepler around 1619. He obtained them by stellating the regular convex dodecahedron, for the first time treating it as a surface rather than a solid. He noticed that by extending the edges or faces of the convex dodecahedron until they met again, he could obtain star pentagons. Further, he recognized that these star pentagons are also regular. In this way he constructed the two stellated dodecahedra. Each has the central convex region of each face "hidden" within the interior, with only the triangular arms visible. Kepler's final step was to recognize that these polyhedra fit the definition of regularity, even though they were not convex, as the traditional Platonic solids were. In 1809, Louis Poinsot rediscovered Kepler's figures, by assembling star pentagons around each vertex. He also assembled convex polygons around star vertices to discover two more regular stars, the great icosahedron and great dodecahedron. Some people call these two the Poinsot polyhedra. Poinsot did not know if he had discovered all the regular star polyhedra. Three years later, Augustin Cauchy proved the list complete by stellating the Platonic solids, and almost half a century after that, in 1858, Bertrand provided a more elegant proof by faceting them. The following year, Arthur Cayley gave the Kepler–Poinsot polyhedra the names by which they are generally known today. A hundred years later, John Conway developed a systematic terminology for stellations in up to four dimensions. Within this scheme the small stellated dodecahedron is just the stellated dodecahedron.

Регулярные звездные полиэдри в искусстве и культуре

Регулярные звёздные многогранники впервые появляются в искусстве эпохи Возрождения. Небольшой звёздный додекаэдр изображён на мраморной тарсии на полу базилики Святого Марка в Венеции, Италия, датируемой примерно 1430 годом и иногда приписываемой Пауло Уччелло. В XX веке интерес художника М.С. Эшера к геометрическим формам часто приводил к созданию работ, основанных на или включающих правильные многогранники; работа «Гравитация» основана на небольшом звёздном додекаэдре. Развёртка большого додекаэдра была использована для головоломки 1980-х годов «Звезда Александра». Скульптура норвежского художника Вебьёрна Санда «Звезда Кеплера» установлена возле аэропорта Осло, Гардермоен. Звезда имеет размах 14 метров и состоит из икосаэдра и додекаэдра, заключённых внутри большого звёздного додекаэдра.