Квантовая гравитация: канонический подход.

Введение

Формулировка общей теории относительности

В физике каноническая квантовая гравитация — это попытка квантовать каноническую формулировку общей теории относительности (или канонической гравитации). Это гамильтонова формулировка общей теории относительности Эйнштейна. Основные положения теории были изложены Брайсом Девиттом в основополагающей работе 1967 года и основаны на более ранних работах Питера Бергмана с использованием так называемых методов канонического квантования для гамильтоновых систем с ограничениями, разработанных Полом Дираком. Подход Дирака позволяет квантовать системы, включающие калибровочные симметрии, с помощью гамильтоновых методов при фиксированном выборе калибровки. Более современные подходы, частично основанные на работах Девитта и Дирака, включают состояние Хартла — Хокинга, исчисление Реджа, уравнение Уилера — Девитта и петлевую квантовую гравитацию.

Каноническая квантование с ограничениями

Каноническая классическая общая теория относительности является примером полностью обусловленной теории. В обусловленных теориях существуют различные типы фазового пространства: неограниченное (также называемое кинематическим) фазовое пространство, на котором определены функции обусловленности, и редуцированное фазовое пространство, на котором обусловленности уже решены. Для канонического квантования в общем случае фазовое пространство заменяется соответствующим пространством Гильберта, а переменные фазового пространства должны быть повышены до квантовых операторов. В подходе Дирака к квантованию неограниченное фазовое пространство заменяется так называемым кинематическим пространством Гильберта, а функции обусловленности заменяются операторами обусловленности, реализуемыми на кинематическом пространстве Гильберта; затем ищутся решения. Эти квантовые уравнения обусловленности являются центральными уравнениями канонической квантовой общей теории относительности, по крайней мере, в подходе Дирака, который обычно используется. В теориях с обусловленностями существует также квантование редуцированного фазового пространства, где обусловленности решаются на классическом уровне, а переменные редуцированного фазового пространства затем повышаются до квантовых операторов, однако этот подход считался невозможным в общей теории относительности, поскольку он, казалось, эквивалентен поиску общего решения классических уравнений поля. Однако, с относительно недавней разработкой систематической схемы аппроксимации для вычисления наблюдаемых общей теории относительности (впервые) Бьянкой Диттрих, основанной на идеях, предложенных Карло Ровелли, Томасом Тиманном была разработана работоспособная схема для редуцированного фазового квантования гравитации. Однако она не полностью эквивалентна квантованию Дирака, поскольку переменные "часов" должны считаться классическими в редуцированном фазовом квантовании, в отличие от случая в квантовании Дирака. Распространенное заблуждение заключается в том, что координатные преобразования являются калибровочными симметриями общей теории относительности, тогда как истинными калибровочными симметриями на самом деле являются диффеоморфизмы, как определено математиком (см. аргумент о "дыре") – которые гораздо более радикальны. Ограничения первого класса общей теории относительности – это ограничение пространственного диффеоморфизма и ограничение Гамильтона (также известное как уравнение Уиллера — Де Витта) и отражают пространственную и временную диффеоморфную инвариантность теории соответственно. Наложение этих ограничений классически является, по сути, условиями допустимости на начальные данные, а также они генерируют уравнения "эволюции" (на самом деле калибровочные преобразования) посредством скобок Пуассона. Важно отметить, что алгебра скобок Пуассона между ограничениями полностью определяет классическую теорию – это то, что должно быть воспроизведено в полуклассическом пределе канонической квантовой гравитации, чтобы она была жизнеспособной теорией квантовой гравитации. В подходе Дирака оказывается, что квантовые ограничения первого класса, наложенные на волновую функцию, также генерируют калибровочные преобразования. Таким образом, двухэтапный процесс в классической теории решения ограничений (эквивалентный решению условий допустимости для начальных данных) и поиску калибровочных орбит (решению уравнений "эволюции") заменяется одноэтапным процессом в квантовой теории, а именно поиском решений квантовых уравнений. Это происходит потому, что он очевидно решает ограничение на квантовом уровне и одновременно ищет состояния, которые являются калибровочно инвариантными, поскольку является квантовым генератором калибровочных преобразований. На классическом уровне решение условий допустимости и уравнений эволюции эквивалентно решению всех уравнений Эйнштейна, что подчеркивает центральную роль квантовых уравнений обусловленности в подходе Дирака к канонической квантовой гравитации.

Canonical classical general relativity is an example of a fully constrained theory. In constrained theories there are different kinds of phase space: the unrestricted (also called kinematic) phase space on which constraint functions are defined and the reduced phase space on which the constraints have already been solved. For canonical quantization in general terms, phase space is replaced by an appropriate Hilbert space and phase space variables are to be promoted to quantum operators. In Dirac's approach to quantization the unrestricted phase space is replaced by the so called kinematic Hilbert space and the constraint functions replaced by constraint operators implemented on the kinematic Hilbert space; solutions are then searched for. These quantum constraint equations are the central equations of canonical quantum general relativity, at least in the Dirac approach which is the approach usually taken. In theories with constraints there is also the reduced phase space quantization where the constraints are solved at the classical level and the phase space variables of the reduced phase space are then promoted to quantum operators, however this approach was thought to be impossible in General relativity as it seemed to be equivalent to finding a general solution to the classical field equations. However, with the fairly recent development of a systematic approximation scheme for calculating observables of General relativity (for the first time) by Bianca Dittrich, based on ideas introduced by Carlo Rovelli, a viable scheme for a reduced phase space quantization of Gravity has been developed by Thomas Thiemann. However it is not fully equivalent to the Dirac quantization as the `clock variables' must be taken to be classical in the reduced phase space quantization, as opposed to the case in the Dirac quantization. A common misunderstanding is that coordinate transformations are the gauge symmetries of general relativity, when actually the true gauge symmetries are diffeomorphisms as defined by a mathematician (see the Hole argument) – which are much more radical. The first class constraints of general relativity are the spatial diffeomorphism constraint and the Hamiltonian constraint (also known as the Wheeler–De Witt equation) and imprint the spatial and temporal diffeomorphism invariance of the theory respectively. Imposing these constraints classically are basically admissibility conditions on the initial data, also they generate the 'evolution' equations (really gauge transformations) via the Poisson bracket. Importantly the Poisson bracket algebra between the constraints fully determines the classical theory – this is something that must in some way be reproduced in the semi classical limit of canonical quantum gravity for it to be a viable theory of quantum gravity. In Dirac's approach it turns out that the first class quantum constraints imposed on a wavefunction also generate gauge transformations. Thus the two step process in the classical theory of solving the constraints (equivalent to solving the admissibility conditions for the initial data) and looking for the gauge orbits (solving the `evolution' equations) is replaced by a one step process in the quantum theory, namely looking for solutions of the quantum equations This is because it obviously solves the constraint at the quantum level and it simultaneously looks for states that are gauge invariant because is the quantum generator of gauge transformations. At the classical level, solving the admissibility conditions and evolution equations are equivalent to solving all of Einstein's field equations, this underlines the central role of the quantum constraint equations in Dirac's approach to canonical quantum gravity.

Уравнение Уилера и Девитта

Уравнение Уиллера — ДеВитта (иногда называемое гамильтоновым ограничением, иногда уравнение Эйнштейна — Шрёдингера) играет центральную роль, поскольку кодирует динамику на квантовом уровне. Оно аналогично уравнению Шрёдингера, за исключением того, что координата времени, *t*, является нефизической, и физическая волновая функция не может зависеть от *t*. Следовательно, уравнение Шрёдингера сводится к ограничению:

Использование метрических переменных приводило к, казалось бы, непреодолимым математическим трудностям при попытке преобразовать классическое выражение в корректно определённый квантовый оператор. В результате десятилетиями прогресса в рамках этого подхода не достигалось. Эта проблема была обойдена, и впервые формулировка корректно определённого уравнения Уиллера — ДеВитта была достигнута с введением переменных Аштекара — Барберо и петлевого представления, а также корректно определённого оператора, сформулированного Томасом Тиманном. До этого уравнения Уиллера — ДеВитта формулировались только в моделях с пониженной симметрией, таких как квантовая космология.

Каноническая квантование в переменных Аштекар-Барберо и LQG

Многие технические проблемы в канонической квантовой гравитации связаны с ограничениями. Каноническая общая теория относительности первоначально была сформулирована в терминах метрических переменных, но возникли, казалось бы, непреодолимые математические трудности при квантовании этих ограничений, из-за их сильно нелинейной зависимости от канонических переменных. Введение новых переменных Аштекара значительно упростило уравнения. Переменные Аштекара описывают каноническую общую теорию относительности в терминах новой пары канонических переменных, более близкой к той, что используется в калибровочных теориях. При этом было введено дополнительное ограничение – ограничение Гаусса – в дополнение к ограничениям пространственного диффеоморфизма и гамильтониана. Петлевое представление является квантовым гамильтоновым представлением калибровочных теорий в терминах петель. Целью петлевого представления, в контексте теорий Янга-Миллса, является устранение избыточности, вносимой гауссовыми симметриями, что позволяет работать непосредственно в пространстве гауссово-инвариантных состояний. Использование этого представления естественно вытекает из представления Аштекара-Барберо, поскольку оно обеспечивает точное непертурбативное описание, а также потому, что ограничение пространственного диффеоморфизма легко решается в рамках этого представления. В рамках петлевого представления Тиманн построил хорошо определенную каноническую теорию в присутствии всех форм материи и явно показал, что она является конечнозначной! Таким образом, нет необходимости в перенормировке. Однако, поскольку подход LQG хорошо подходит для описания физики на планковском масштабе, возникают трудности в установлении связи с привычной физикой низких энергий и в проверке того, что полуклассический предел является правильным.

Проблема времени

Все канонические теории общей теории относительности сталкиваются с проблемой времени. В квантовой гравитации проблема времени представляет собой концептуальный конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой. В канонической общей теории относительности время является лишь одной из координат в силу общей ковариантности. В квантовых теориях поля, особенно в гамильтоновой формулировке, описание разделяется на три пространственных измерения и одно временное измерение. По сути, проблема времени заключается в том, что в общей теории относительности времени как такового нет. Это связано с тем, что в общей теории относительности гамильтониан является ограничением, которое должно обращаться в ноль. Однако в любой канонической теории гамильтониан генерирует сдвиги во времени. Следовательно, мы приходим к выводу, что в общей теории относительности "ничто не происходит" ("времени нет"). Поскольку "времени не существует", привычная интерпретация квантовомеханических измерений в определенные моменты времени нарушается. Эта проблема времени охватывает все интерпретационные трудности, возникающие в рамках данного формализма. Канонический формализм, основанный на конформном разложении геометродинамики Джеймса Йорка, приводящий к "времени Йорка" в общей теории относительности, был разработан Чарльзом Вангом. Впоследствии он и его коллеги развили эту работу, предложив подход к идентификации и квантованию времени, применимый к широкому классу масштабно-инвариантных теорий гравитации с дилатонным веществом.

Проблема квантовой космологии

Проблема квантовой космологии состоит в том, что физические состояния, являющиеся решениями ограничений канонической квантовой гравитации, представляют собой квантовые состояния всей Вселенной и, следовательно, исключают существование внешнего наблюдателя, в то время как внешний наблюдатель является ключевым элементом в большинстве интерпретаций квантовой механики.