Великий диснуб диромбододекаэдр Скиллинга: Вырожденный многогранник со 204 гранями
Great disnub dirhombidodecahedron
Великий диснуб диромбододекаэдр Скиллинга: геометрия, свойства и доказательство существования 75 однородных многогранников. Дегенерация и двойные рёбра.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Полиэдр с 204 гранями
Polyhedron with 204 faces
В геометрии великий диснуб дирхомбидодекаэдр, также называемый фигурой Скиллинга, является вырожденным однородным звездным полиэдром. Было доказано в 1970 году, что существует только 75 однородных полиэдров, помимо бесконечных семейств призм и антипризм. Джон Скиллинг обнаружил другой вырожденный пример, великий диснуб дирхомбидодекаэдр, ослабив требование, что ребра должны быть единственными. Более точно, он допустил, чтобы на каждом ребре встречалось любое четное число граней, при условии, что набор граней нельзя разделить на два связных множества (Skilling, 1975). Из-за того, что его геометрическая реализация имеет некоторые двойные ребра, в которых сходятся 4 грани, он считается вырожденным однородным полиэдром, но не строго однородным полиэдром. Количество ребер неоднозначно, поскольку лежащий в основе абстрактный полиэдр имеет 360 ребер, но 120 пар из них имеют одно и то же изображение в геометрической реализации, так что геометрическая реализация имеет 120 одинарных и 120 двойных ребер, в которых сходятся 4 грани, в общей сложности 240 ребер. Эйлерова характеристика абстрактного полиэдра равна −96. Если пары совпадающих ребер в геометрической реализации рассматривать как одинарные ребра, то он имеет только 240 ребер и Эйлерову характеристику 24. Вершинная фигура имеет 4 квадратные грани, проходящие через центр модели. Его можно построить как исключающее ИЛИ (смешение) большого дирхомбикозидодекаэдра и соединения двадцати октаэдров.
In geometry, the great disnub dirhombidodecahedron, also called Skilling's figure, is a degenerate uniform star polyhedron. It was proven in 1970 that there are only 75 uniform polyhedra other than the infinite families of prisms and antiprisms. John Skilling discovered another degenerate example, the great disnub dirhombidodecahedron, by relaxing the condition that edges must be single. More precisely, he allowed any even number of faces to meet at each edge, as long as the set of faces couldn't be separated into two connected sets (Skilling, 1975). Due to its geometric realization having some double edges where 4 faces meet, it is considered a degenerate uniform polyhedron but not strictly a uniform polyhedron. The number of edges is ambiguous, because the underlying abstract polyhedron has 360 edges, but 120 pairs of these have the same image in the geometric realization, so that the geometric realization has 120 single edges and 120 double edges where 4 faces meet, for a total of 240 edges. The Euler characteristic of the abstract polyhedron is −96. If the pairs of coinciding edges in the geometric realization are considered to be single edges, then it has only 240 edges and Euler characteristic 24. The vertex figure has 4 square faces passing through the center of the model. It may be constructed as the exclusive or (blend) of the great dirhombicosidodecahedron and compound of twenty octahedra.
Двойной полиэдр
Двойственным к большому дирхомбидодекаэдру является большой дирхомбидодекаэдокрон. Это невыпуклый бесконечный изоэдрический полиэдр. Подобно визуально идентичному большому дирхомбикозидодекакрон в книге Магнуса Веннингера «Двойные модели», он представлен пересекающимися бесконечными призмами, проходящими через центр модели и усеченными в определенной точке, удобной для изготовителя. Веннингер предположил, что эти фигуры принадлежат к новому классу звездчатых многогранников, называемых звездчатыми до бесконечности. Однако он также признал, что строго говоря, они не являются многогранниками, поскольку их построение не соответствует общепринятым определениям.
The dual of the great disnub dirhombidodecahedron is called the great disnub dirhombidodecacron. It is a nonconvex infinite isohedral polyhedron. Like the visually identical great dirhombicosidodecacron in Magnus Wenninger's Dual Models, it is represented with intersecting infinite prisms passing through the model center, cut off at a certain point that is convenient for the maker. Wenninger suggested these figures are members of a new class of stellation polyhedra, called stellation to infinity. However, he also acknowledged that strictly speaking they are not polyhedra because their construction does not conform to the usual definitions.