Введение
Элемент алгебры, использующей кватернионы и расщеплённые комплексные числа.
In mathematics, a split biquaternion is a hypercomplex number of the form
where w, x, y, and z are split complex numbers and i, j, and k multiply as in the quaternion group. Since each coefficient w, x, y, z spans two real dimensions, the split biquaternion is an element of an eight dimensional vector space. Considering that it carries a multiplication, this vector space is an algebra over the real field, or an algebra over a ring where the split complex numbers form the ring. This algebra was introduced by William Kingdon Clifford in an 1873 article for the London Mathematical Society. It has been repeatedly noted in mathematical literature since then, variously as a deviation in terminology, an illustration of the tensor product of algebras, and as an illustration of the direct sum of algebras. The split biquaternions have been identified in various ways by algebraists; see below.
В математике расщеплённый бикватернион – это гиперкомплексное число вида
In mathematics, a split biquaternion is a hypercomplex number of the form
where w, x, y, and z are split complex numbers and i, j, and k multiply as in the quaternion group. Since each coefficient w, x, y, z spans two real dimensions, the split biquaternion is an element of an eight dimensional vector space. Considering that it carries a multiplication, this vector space is an algebra over the real field, or an algebra over a ring where the split complex numbers form the ring. This algebra was introduced by William Kingdon Clifford in an 1873 article for the London Mathematical Society. It has been repeatedly noted in mathematical literature since then, variously as a deviation in terminology, an illustration of the tensor product of algebras, and as an illustration of the direct sum of algebras. The split biquaternions have been identified in various ways by algebraists; see below.
где w, x, y и z – расщеплённые комплексные числа, а i, j и k умножаются как в группе кватернионов. Поскольку каждый коэффициент w, x, y, z определяет два вещественных измерения, расщеплённый бикватернион является элементом восьмимерного векторного пространства. Учитывая наличие операции умножения, это векторное пространство является алгеброй над полем вещественных чисел или алгеброй над кольцом, в котором расщеплённые комплексные числа образуют кольцо. Эта алгебра была введена Уильямом Кингдоном Клиффордом в статье 1873 года для Лондонского математического общества. С тех пор она неоднократно упоминалась в математической литературе, в различных контекстах, как отклонение в терминологии, иллюстрация тензорного произведения алгебр и иллюстрация прямой суммы алгебр. Алгебраисты определяли расщеплённые бикватернионы различными способами; см. ниже.
In mathematics, a split biquaternion is a hypercomplex number of the form
where w, x, y, and z are split complex numbers and i, j, and k multiply as in the quaternion group. Since each coefficient w, x, y, z spans two real dimensions, the split biquaternion is an element of an eight dimensional vector space. Considering that it carries a multiplication, this vector space is an algebra over the real field, or an algebra over a ring where the split complex numbers form the ring. This algebra was introduced by William Kingdon Clifford in an 1873 article for the London Mathematical Society. It has been repeatedly noted in mathematical literature since then, variously as a deviation in terminology, an illustration of the tensor product of algebras, and as an illustration of the direct sum of algebras. The split biquaternions have been identified in various ways by algebraists; see below.
Сплит-бикватрений группа
Разделенные бикватернионы образуют ассоциативное кольцо, что очевидно из рассмотрения умножения в их базисе. При присоединении ω к группе кватернионов получается группа из 16 элементов ({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).
( {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, × ).
Модуль
Поскольку элементы кватернионной группы могут быть взяты в качестве базиса пространства расщепленных бикватернионов, его можно сравнить с векторным пространством. Однако расщепленные комплексные числа образуют кольцо, а не поле, поэтому понятие векторного пространства неприменимо. Скорее, пространство расщепленных бикватернионов образует свободный модуль. Этот стандартный термин теории колец выражает сходство с векторным пространством, и данная структура, исследованная Клиффордом в 1873 году, является примером этого. Расщепленные бикватернионы образуют алгебру над кольцом, но не кольцо группы.
Биквартион Гамильтона
Разделённые бикватернионы не следует путать с (обычными) бикватернионами, ранее введёнными Уильямом Роуэном Гамильтоном. Бикватернионы Гамильтона являются элементами алгебры.