Введение

Удаление чередующихся вершин

В геометрии, чередование или частичная усечённость — это операция над многоугольником, многогранником, мозаикой или политопом более высокой размерности, которая удаляет чередующиеся вершины. Коксетер обозначает чередование префиксом h, обозначающим hemi или половину. Поскольку чередование уменьшает количество сторон всех многоугольных граней вдвое, оно может применяться только к политопам, у которых все грани имеют чётное число сторон. Чередующаяся квадратная грань становится дигоном, который, будучи вырожденным, обычно сводится к одному ребру. В более общем смысле, любое вершинно-однородное многообразие или мозаика с конфигурацией вершины, состоящей из всех чётных элементов, может быть чередовано. Например, чередование вершинной фигуры с 2a.2b.2c даёт a.3.b.3.c.3, где три — это количество элементов в этой вершинной фигуре. Особым случаем являются квадратные грани, порядок которых делится пополам, образуя вырожденные дигоны. Так, например, куб 4.4.4 чередуется в 2.3.2.3.2.3, что сводится к 3.3.3, то есть к тетраэдру, и все 6 рёбер тетраэдра также можно рассматривать как вырожденные грани исходного куба.

Сноб

Снуб (в терминологии Коксетера) можно рассматривать как чередование усеченного правильного или усеченного полуправильного многогранника. В общем случае, многогранник может быть снубован, если его усечение имеет только многоугольные грани с четным числом сторон. Все усеченные выпрямленные многогранники могут быть снубованы, и это не ограничивается только правильными многогранниками. Снубованная квадратная антипризма является примером общего снуба и может быть представлена как ss{2,4}, в то время как квадратная антипризма – s{2,4}.

Измененные многогранники

Коксетер также использовал оператор a, который включает обе части, тем самым сохраняя исходную симметрию. Для правильных многогранников с четным числом сторон a{2p,q} представляет собой составной многогранник, состоящий из двух противоположных копий h{2p,q}. Для правильных многогранников с нечетным числом сторон, большим 3, a{p,q} становится звездчатым многогранником. Норман Джонсон расширил использование модифицированных операторов a{p,q}, b{p,q} для смешанных и c{p,q} для преобразованных, соответствующих , , и соответственно. Составной многогранник, известный как звездный октаэдр, может быть представлен как a{4,3} (модифицированный куб), и . Звездчатый многогранник, известный как малый двутреугольный икозидодекаэдр, может быть представлен как a{5,3} (модифицированный додекаэдр), и . Здесь все пятиугольники преобразованы в пятиугольные звезды, а треугольники вставлены для заполнения образовавшихся свободных ребер. Звездчатый многогранник, известный как большой двутреугольный икозидодекаэдр, может быть представлен как a{5/2,3} (модифицированный большой звездчатый додекаэдр), и . Здесь все пятиугольные звезды преобразованы обратно в пятиугольники, а треугольники вставлены для заполнения образовавшихся свободных ребер.